La continuità nelle funzioni a due variabili f(x,y)

Una funzione di due o più variabili \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) è una funzione continua in un punto \(\vec{x}_0 \in \mathbb{R}^n\) se il limite della funzione in \(\vec{x}_0\) è uguale al valore della funzione in quel punto: \[ \lim_{ \vec{x} \rightarrow \vec{x}_0 } f( \vec{x} ) = f( \vec{x}_0 ) \] dove \(\vec{x}_0\) è un vettore con \(n\) componenti reali.
 

Ad esempio, una funzione a due variabili f(x,y) è continua in (x₀,y₀) se il limite per (x,y) che tende a (x₀,y₀) è uguale a f(x₀,y₀)

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0) $$

In questo caso, \((x_0, y_0)\) è una coppia di numeri reali, cioè non un vettore nel senso classico.

Potrei però considerare la coppia di numeri reali (x₀,y₀) come un vettore a due componenti.

$$ \vec{x}_0 = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} $$

E allo stesso modo una generica coppia (x,y) come un vettore a due dimensioni.

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Sostituisco i vettori alle coppie nel limite e ottengo la definizione di limite in forma vettoriale.

$$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x}_0} f( \vec{x} ) = f( \vec{x}_0) $$

E' del tutto equivalente alla precedente definizione di limite.

Nota. La definizione vettoriale di limite è molto simile alla definizione di limite di una funzione f(x) con una sola variabile indipendente. Nella definizione vettoriale però x è un vettore a 2 componenti.

Perché è meglio usare la definizione vettoriale?

Grazie alla notazione vettoriale posso scrivere molto più agevolmente il limite di una funzione a tre variabili f(x,y,z) o più variabili f(x₁,x₂,...,x_n).

Un esempio pratico

Devo studiare il limite di questa funzione f:R²→R

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \cos xy $$

Scompongo il limite in una somma di due limiti

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \cos xy $$

Per x→0 e y→0 la funzione sin y→ 0 e la funzione cos xy→ 1

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \cos xy = 0 + 1 = 1 $$

Quindi il limite della funzione f(x) converge a 1

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \cos xy = 1 $$

Sostituendo x=0 e y=0 nella funzione si ottiene lo stesso valore.

$$ f(0,0) = \sin y + \cos xy = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 $$

I due valori sono uguali, quindi la funzione è continua nel punto (0,0)

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \sin y + \cos xy = f(0,0) = 1 $$

Dal punto di vista grafico, \(f(x, y)\) definisce una superficie nello spazio tridimensionale \((x, y, z)\), dove \(z = f(x, y)\). 

La continuità nel punto \((x_0, y_0)\) si manifesta nel fatto che la superficie non presenta "buchi", salti o spigoli nel punto corrispondente a \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\).

E così via.