Esercizio sulle equazioni differenziali 16
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y' = - \frac{1+y}{x^2} $$
E' un'equazione differenziale del primo ordine.
Si può risolvere con la tecnica della separazione delle variabili.
Separo le variabili y e x nei due membri dell'equazione.
$$ \frac{1}{1+y} \cdot y' = - \frac{1}{x^2} $$
Riscrivo y' nella notazione dy/dx e sposto dx al secondo membro
$$ \frac{1}{1+y} \cdot \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{x^2} $$
$$ \frac{1}{1+y} \cdot dy = - \frac{1}{x^2} \cdot dx $$
Quindi integro entrambi i membri dell'equazione differenziale per le rispettive variabili y e x
$$ \int \frac{1}{1+y} \ dt = \int - \frac{1}{x^2} \ dx $$
$$ \int \frac{1}{1+y} \ dt = - \int x^{-2} \ dx $$
L'integrale di x-2 si risolve con la primitiva x-2+1/(2+1)+c1
$$ \int \frac{1}{1+y} \ dt = - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + c_1 $$
$$ \int \frac{1}{1+y} \ dt = - \frac{x^{-1}}{-1} + c_1 $$
$$ \int \frac{1}{1+y} \ dt = x^{-1} + c_1 $$
$$ \int \frac{1}{1+y} \ dt = \frac{1}{x} + c_1 $$
L'integrale di 1/(1+y) si risolve con la primitiva log |1+y|
$$ \log |1+y| = \frac{1}{x} + c_1 $$
Uso la proprietà invariantiva per ottenere la funzione incognita y
$$ e^{\log |1+y|} = e^{\frac{1}{x} + c_1} $$
$$ 1+y = e^{\frac{1}{x}} \cdot e^{c_1} $$
$$ y = e^{\frac{1}{x}} \cdot e^{c_1} -1 $$
Essendo ec1 un valore costante scrivo c=ec1
Il risultato finale è la soluzione generale
$$ y = e^{\frac{1}{x}} \cdot c -1 $$
A questo punto verifico se c'è anche una soluzione costante
$$ y' = - \frac{1+y}{x^2} $$
Se y = -1 l'equazione differenziale si riduce a
$$ y' = - \frac{1+(-1)}{x^2} = - \frac{0}{x^2} = 0 $$
Quindi y=-1 è una soluzione costante perché per qualsiasi valore di x , a parte zero in cui la funzione non è definita, la derivata prima è sempre nulla y'=0.
$$ \forall \ x \in R-{0} \ , \ y=-1 \Rightarrow y'=0 $$
In conclusione per y≠-1 vale la soluzione generale
$$ y = e^{\frac{1}{x}} \cdot c -1 $$
A cui si aggiunge la soluzione costante per y=-1.
E così via.
