Le grandezze omogenee

Due grandezze sono grandezze omogenee se hanno la stessa unità di misura, o hanno unità di misura diverse ma convertibili tra loro, e possono essere confrontate o combinate direttamente.

Ad esempio, due lunghezze (5 metri e 3 metri) sono grandezze omogenee perché posso confrontarle

$$5 m > 3m $$

e posso anche sommarle tra loro

$$ 5m + 3m = 8m $$

Non ha, invece, alcun senso sommare due grandezze non omogenee come una lunghezza (5 metri) con una temperatura (30°C) o una massa (10 kg).

Nota. In generale sono omogenee le lunghezze anche se hanno unità di misura diverse (es. 5 metri e 3 chilometri, o 3 pollici) perché posso sempre convertirle nella stessa unità di misura.

A cosa serve conoscere le grandezze omogenee?

La nozione di grandezza omogena è importante perché mi permette di controllare la coerenza delle equazioni fisiche tramite l'analisi dimensionale.

L'analisi dimensionale è un metodo per esaminare le relazioni tra diverse grandezze fisiche attraverso lo studio delle unità di misura.

In un'equazione fisica ogni termine deve essere omogeneo con gli altri.

Questo mi assicura che l'equazione abbia senso indipendentemente dalle unità di misura specifiche utilizzate e mi aiuta anche a verificare la correttezza logica dell' equazione.

Se trovassi termini non omogenei in un'equazione, saprei subito che c'è un errore.

Nota. Ovviamente la sola analisi dimensionale non è sufficiente a evitare il rischio di errori. Potrebbero esserci banalmente degli errori di calcolo anche se l'analisi dimensionale è corretta. Tuttavia, il controllo delle dimensioni delle grandezze è un primo check utile per assicurare che sia tutto a posto. Una volta superato, è comunque necessario verificare che le unità di misura siano compatibili e i calcoli siano corretti.

Un esempio pratico

Esempio 1

Considero questa equazione fisica

$$ 50 \ km/h = \frac{50 \ km}{1 \ h} $$

Nel membro di sinistra ho una velocità 50 km/h che è determinata dalla formula della velocità media $ v = \frac{s}{t} $ come il rapporto tra lo spazio percorso (s=50 km) e il tempo impiegato per percorrerlo (t=1 h).

Quindi sostituisco 50 km/h con la dimensione [L]/[T] dove [L] è una lunghezza generica (spazio percorso s=50 km) e [T] è un tempo generico (tempo di percorrenza t=1 h).

$$ \frac{[L]}{[T]} = \frac{50 \ km}{1 \ h} $$

Nel membro di destra ho il rapporto tra una lunghezza ( 50 km) e un tempo ( 1 h).

Sostituisco i due termini con le rispettive grandezze nell'equazione: [L] al posto di 50 km e [T] al posto di 1 h.

$$ \frac{[L]}{[T]} =\frac{[L]}{[T]} $$

Entrambi i membri dell'equazione hanno le stesse grandezze, quindi si tratta di grandezze omogenee.

Questo accade perché la velocità è il risultato della divisione di una lunghezza (in metri) per un tempo (in secondi).

Quindi, in entrambi i membri dell'equazione c'è il rapporto tra due grandezze omogenee: la distanza e il tempo, che insieme danno origine a una nuova grandezza, la velocità.

Da questo deduco che l'equazione è corretta dal punto di vista fisico.

Ovviamente, questo non esclude che possano esserci errori di calcolo o che le unità di misura siano compatibili ma questo è un altro discorso.

Nota. Per semplicità posso riscrivere il rapporto [L]/[T] come prodotto [L][T]^-1. E' la stessa cosa. $$ [L][T]^{-1} = [L][T]^{-1} $$ In genere in fisica si preferisce scrivere il rapporto in quest'ultima forma, perché è più compatta e facile da leggere.

Esempio 2

Considero l'equazione della seconda legge di Newton

$$ F = m \cdot a $$

Dove \( F \) è la forza, \( m \) la massa, e \( a \) l'accelerazione.

L'unità di misura della forza \( F \)  nel Sistema Internazionale (SI) è il newton (N).

Un newton è definito come la forza necessaria per accelerare una massa di un chilogrammo (kg) alla velocità di un metro al secondo al quadrato (m/s²).

Quindi, dimensionalmente

$$ [F] = [M][L][T]^{-2} $$

Dove \( [M] \) rappresenta la massa, \( [L] \) la lunghezza, e \( [T] \) il tempo.

La massa (m) è misurata in chilogrammi (kg) nel SI. Dimensionalmente,

$$ [m] = [M] $$

L'accelerazione (A) è definita come il tasso di variazione della velocità nel tempo. La sua unità di misura è metri al secondo al quadrato (m/s²).

Dunque, dimensionalmente

$$ [a] = [L][T]^{-2} $$

Mettendo tutto insieme nell'equazione \( F = m \cdot a \), otteniamo:

$$  [F] = [m][a] = [M][L][T]^{-2} $$

Questo mostra che l'equazione è dimensionalmente coerente. Ogni termine ha le stesse dimensioni di forza, confermando la validità dell'equazione dal punto di vista dimensionale.

E così via.