Analisi dimensionale

Cos'è l'analisi dimensionale

L'analisi dimensionale (o controllo dimensionale) è la scomposizione di una grandezza fisica nelle grandezze fondamentali che la determinano.

Ogni legge fisica è una relazione matematica tra grandezze fisiche fondamentali o derivate.

Per fare l'analisi dimensionale di un calcolo basta sostituire ogni grandezza fisica con la sua dimensione.

Cos'è la dimensione di una grandezza fisica

La dimensione di una grandezza fisica è la sua rappresentazione in grandezze fondamentali.

grandezza fondamentale	simbolo grandezza	unità di misura	simbolo unità
lunghezza	l	metro	m
massa	m	chilogrammo	kg
tempo	t	secondo	s
intensità di corrente elettrica	i	ampere	A
temperatura	T	kelvin	K
quantità di sostanza	n	mole	mol
intensità luminosa	iv	candela	cd

Per indicare che si tratta di una dimensione, il simbolo della grandezza va scritto tra parentesi quadre [ ].

Ad esempio, la dimensione della lunghezza si scrive

$$ [l] $$

La differenza tra dimensione e unità di misura. Non bisogna confondere i due concetti. La dimensione indica la tipologia fisica della grandezza (es. tempo anziché lunghezza o massa). L'unità di misura, invece, è l'unità usata per misurare la grandezza (es. secondi, ore, giorni, ecc.).

La lunghezza, la massa, il tempo, l'intensità della corrente, la quantità di una sostanza e l'intensità luminosa sono dette grandezze fondamentali perché hanno dimensioni elementari che permettono di definire le dimensioni di tutte le altre grandezze fisiche.

Le grandezze fisiche scritte usando le grandezze fondamentali sono dette grandezze derivate.

Ad esempio, la velocità è una grandezza derivata ottenuta tramite il rapporto tra una lunghezza (l) e il tempo (t).

$$ [v] = \frac{[l]}{[t]} $$

Nota. Nell'analisi dimensionale non vanno considerate le grandezze adimensionali ossia quelle prive di una dimensione (es. i numeri puri). Una grandezza adimensionale è soltanto un valore numerico, non ha un'unità di misura. Quindi, non può essere sostituita con il simbolo di una grandezza fisica.

A cosa serve l'analisi dimensionale?

L'analisi dimensionale è utile per verificare la correttezza fisica dei calcoli.

Le grandezze fisiche con la stessa dimensione si possono semplificare tramite operazioni algebriche del calcolo letterale (somma, sottrazione, divisione, prodotto).

Un calcolo è fisicamente corretto se ha la stessa dimensione della legge fisica a cui si riferisce.

Nota. La correttezza dimensionale di un calcolo non vuol dire che sia anche matematicamente corrette. Potrebbero esserci errori matematici. L'analisi dimensionale è una prima verifica che mi permette comunque di evitare errori di ragionamento. Pertanto, l'analisi dimensionale è una condizione necessaria ma non sufficiente alla correttezza di un calcolo.

Come fare l'analisi dimensionale

I passi per fare l'analisi dimensionale di una grandezza fisica sono i seguenti

1. Analizzo la relazione che determina la grandezza.
2. Sostituisco ogni grandezza della relazione con la sua dimensione (es. t per il tempo, l per le lunghezze, l/t per la velocità, ecc.).
3. I simboli delle grandezze fisiche devono essere racchiusi tra parentesi quadre.
4. Il risultato finale è l'equazione dimensionale.

Un esempio pratico

Devo analizzare la dimensione della velocità.

La velocità (v) è una grandezza fisica ottenuta dividendo uno spazio percorso in (m)etri per il tempo in (s)econdi

$$ v = \frac{m}{s} $$

Sostituisco ogni grandezza fisica nella relazione con la relativa dimensione.

In questo caso sono due grandezze fondamentali, quindi il lavoro è molto semplice.

Sostituisco ai metri il simbolo delle lunghezze [l] e ai secondi il simbolo del tempo [t]

$$ [v] = \frac{[l]}{t} $$

o in alternativa

$$ [v] = [l] \cdot [t]^{-1} $$

In questo modo ottengo la dimensione fisica della velocità: la velocità è una lunghezza diviso in tempo.

Nota. In sostituzione dei simboli delle grandezze fisiche posso usare anche le unità di misura. Sapendo che l'unità di misura delle lunghezze è il metro [m] mentre quella del tempo è il secondo [s], posso scrivere l'equazione dimensionale della velocità anche in questo modo. $$ [v] = \frac{[m]}{[s]} = [m] \cdot [s]^{-1} $$

Qualsiasi calcolo sulla velocità deve avere la stessa dimensione della legge fisica della velocità.

Ad esempio, un'automobile percorre 100 metri in 5 secondi. La velocità dell'automobile è

$$ v = \frac{100 \ m}{5 \ s } = 20 \ m/s $$

Per verificare la correttezza logica del calcolo faccio l'analisi dimensionale a entrambi i membri dell'equazione.

Nel membro di sinistra sostituisco la velocità (v) con la dimensione della legge della velocità [v]=[l]/[t]

$$ \frac{[l]}{[t]} = \frac{100 \ m}{5 \ s } = 20 \ m/s $$

A questo punto faccio l'analisi dimensionale anche dei calcoli nel membro di destra dell'equazione.

Nel membro di destra sostituisco i metri con [l] e i secondi con [t].

$$ \frac{[l]}{[t]} = \frac{[l]}{[t]} $$

L'uguaglianza delle dimensioni mi conferma che il ragionamento seguito è corretto.

Ovviamente questo non mi mette al riparo da eventuali errori matematici nei calcoli.

Se avessi scritto 100m / 5s = 30 m/s anziché 20 m/s l'analisi dimensionale sarebbe comunque corretta ma il risultato errato.

Nota. Per spiegare meglio l'analisi dimensionale è utile analizzare anche il caso di un errore logico. Se il calcolo fosse $$ v = \frac{100 \ m}{5 \ s^2 } = 20 \ m/s^2 $$ L'analisi dimensionale sarebbe $$ \frac{[l]}{[t]} = \frac{[l]}{[t^2]} $$ In questo caso non si verifica l'uguaglianza dimensionale perché sto confrontando una velocità [l]/[t] con un'accelerazione [l]/[t²]. Questo accade perché nel calcolo ho usato una formula sbagliata, quella dell'accelerazione. A questo punto è inutile controllare la correttezza matematica del calcolo. C'è un errore di coerenza tra le grandezze fisiche e il calcolo va rifatto da capo seguendo un ragionamento diverso. In questo caso devo semplicemente rifare i calcoli con la formula della velocità.

E così via.