Analisi dimensionale

Cos'è l'analisi dimensionale

L'analisi dimensionale (o controllo dimensionale) è la scomposizione di una grandezza fisica nelle grandezze fondamentali che la determinano.

Ogni legge fisica è una relazione matematica tra grandezze fisiche fondamentali o derivate.

Per fare l'analisi dimensionale di un calcolo basta sostituire ogni grandezza fisica con la sua dimensione.

Cos'è la dimensione di una grandezza fisica

La dimensione di una grandezza fisica è la sua rappresentazione in grandezze fondamentali.

grandezza
fondamentale
simbolo
grandezza
unità
di misura
simbolo
unità
lunghezza l metro m
massa m chilogrammo kg
tempo t secondo s
intensità di corrente elettrica i ampere A
temperatura T kelvin K
quantità di sostanza n mole mol
intensità luminosa iv candela cd

Qualsiasi grandezza derivata può essere riscritta tramite le grandezze fondamentali.

Ad esempio, la velocità è una grandezza derivata ottenuta tramite il rapporto tra una lunghezza (l) e il tempo (t).

$$ [v] = \frac{[l]}{[t]} $$

Nota. Nell'analisi dimensionale non vanno considerate le grandezze adimensionali ossia quelle prive di una dimensione (es. i numeri puri). Una grandezza adimensionale è soltanto un valore numerico, non ha un'unità di misura. Quindi, non può essere sostituita con il simbolo di una grandezza fisica.

A cosa serve l'analisi dimensionale?

L'analisi dimensionale è utile per verificare la correttezza fisica dei calcoli.

Le grandezze fisiche con la stessa dimensione si possono semplificare tramite operazioni algebriche del calcolo letterale (somma, sottrazione, divisione, prodotto).

Un calcolo è fisicamente corretto se ha la stessa dimensione della legge fisica a cui si riferisce.

Nota. La correttezza dimensionale di un calcolo non vuol dire che sia anche matematicamente corrette. Potrebbero esserci errori matematici. L'analisi dimensionale è una prima verifica che mi permette comunque di evitare errori di ragionamento. Pertanto, l'analisi dimensionale è una condizione necessaria ma non sufficiente alla correttezza di un calcolo.

Come fare l'analisi dimensionale

I passi per fare l'analisi dimensionale di una grandezza fisica sono i seguenti

  1. Analizzo la relazione che determina la grandezza.
  2. Sostituisco ogni grandezza della relazione con la sua dimensione (es. t per il tempo, l per le lunghezze, l/t per la velocità, ecc.).
  3. I simboli delle grandezze fisiche devono essere racchiusi tra parentesi quadre.
  4. Il risultato finale è l'equazione dimensionale.

Un esempio pratico

Devo analizzare la dimensione della velocità.

La velocità (v) è una grandezza fisica ottenuta dividendo uno spazio percorso in (m)etri per il tempo in (s)econdi

$$ v = \frac{m}{s} $$

Sostituisco ogni grandezza fisica nella relazione con la relativa dimensione.

In questo caso sono due grandezze fondamentali, quindi il lavoro è molto semplice.

Sostituisco ai metri il simbolo delle lunghezze [l] e ai secondi il simbolo del tempo [t]

$$ [v] = \frac{[l]}{t} $$

o in alternativa

$$ [v] = [l] \cdot [t]^{-1} $$

In questo modo ottengo l'analisi dimensionale della velocità

Nota. In sostituzione dei simboli delle grandezze fisiche posso usare anche le unità di misura. Sapendo che l'unità di misura delle lunghezze è il metro [m] mentre quella del tempo è il secondo [s], posso scrivere l'equazione dimensionale della velocità anche in questo modo. $$ [v] = \frac{[m]}{[s]} = [m] \cdot [s]^{-1} $$

Qualsiasi calcolo sulla velocità deve avere la stessa dimensione della legge fisica della velocità.

Ad esempio, un'automobile percorre 100 metri in 5 secondi. La velocità dell'automobile è

$$ v = \frac{10 \ m}{5 \ s } = 2 \ m/s $$

Per verificare la correttezza logica del calcolo faccio l'analisi dimensionale a entrambi i membri dell'equazione.

Nel membro di sinistra sostituisco la velocità (v) con la dimensione della legge della velocità [v]=[l]/[t]

$$ \frac{[l]}{[t]} = \frac{10 \ m}{5 \ s } = 2 \ m/s $$

A questo punto faccio l'analisi dimensionale anche dei calcoli nel membro di destra dell'equazione.

Nel membro di destra sostituisco i metri con [l] e i secondi con [t].

$$ \frac{[l]}{[t]} = \frac{[l]}{[t]} $$

L'uguaglianza delle dimensioni mi conferma che il ragionamento seguito è corretto.

Ovviamente questo non mi mette al riparo da eventuali errori matematici nei calcoli.

Se avessi scritto 10m / 5s = 3 m/s anziché 2m/s l'analisi dimensionale sarebbe comunque corretta ma il risultato errato.

Nota. Per spiegare meglio l'analisi dimensionale è utile analizzare anche il caso di un errore logico. Se il calcolo fosse $$ v = \frac{10 \ m}{5 \ s^2 } = 2 \ m/s^2 $$ L'analisi dimensionale sarebbe $$ \frac{[l]}{[t]} = \frac{[l]}{[t^2]} $$ In questo caso non si verifica l'uguaglianza dimensionale perché sto confrontando una velocità [l]/[t] con un'accelerazione [l]/[t2]. Questo accade perché nel calcolo ho usato una formula sbagliata, quella dell'accelerazione. A questo punto è inutile controllare la correttezza matematica del calcolo. C'è un errore di coerenza tra le grandezze fisiche e il calcolo va rifatto da capo seguendo un ragionamento diverso. In questo caso devo semplicemente rifare i calcoli con la formula della velocità.

E così via.


 
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