Propagazione degli errori

Le approssimazioni nelle misurazioni introducono degli errori che si propagano nelle operazioni matematiche effettuate durante il calcolo.

Quando misuro una grandezza con un certo strumento, ottengo un valore che non rappresenta esattamente il valore reale, ma una stima (o approssimazione) che contiene un certo errore.

Questo errore può derivare da due fattori:

• Limiti dello strumento (sensibilità, precisione).
• Errori di osservazione o fattori ambientali.

Quando uso questi valori approssimati per fare calcoli, inevitabilmente aumenta anche l’incertezza del risultato finale e devo tenerne conto.

Quindi, in generale l'uso di valori approssimati introduce un margine di errore nel calcolo.

Questi errori si propagano dopo ogni operazione in modo diverso a seconda dell'operazione matematica che devo compiere (addizione, moltiplicazione o potenza).

Perché è importante conoscere la propagazione degli errori? Capire come si propagano gli errori mi aiuta a sapere quanto posso fidarmi del risultato finale e a stimare l'incertezza ovvero l'affidabilità del risultato. Non considerare la propagazione degli errori può portare a risultati fuorvianti o a conclusioni sbagliate.

Come si propagano gli errori in diverse operazioni matematiche?

Secondo il teorema della propagazione dell'errore, la propagazione dell'errore si verifica in modo diverso a seconda dell'operazione matematica che devo compiere.

• Addizione e sottrazione

  In una addizione o sottrazione l'errore assoluto del risultato è la somma degli errori assoluti degli operandi, ovvero delle singole misure. $$ \text{Errore totale} = \Delta x + \Delta y $$

  Questo perché, se ogni valore misurato può oscillare all'interno di un intervallo di incertezza, anche la somma o la differenza subirà una variazione corrispondente.
• Moltiplicazione e divisione

  In una moltiplicazione o divisione, l'errore relativo del risultato è la somma degli errori relativi degli operandi. $$ \frac{\Delta (xy)}{xy} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y} $$

  In altre parole, in una moltiplicazione ciò che si somma è l’errore relativo, cioè il rapporto tra errore assoluto e valore misurato. Questo perché gli errori si combinano in modo percentuale tra loro.  Questo vale anche per la divisione, con la stessa regola per l’errore relativo.
• Moltiplicazione e divisione per una costante

  In una moltiplicazione di una grandezza $ x $ per una costante numerica $ k $, l'errore assoluto del risultato è il prodotto dell'errore assoluto $ \Delta x $ della grandezza per la costante k. $$ \Delta kx = k \cdot \Delta x $$

  In una divisione, invece, l'errore assoluto del risultato è il quoziente tra l'errore assoluto della grandezza e la costante k. $$ \Delta ( \frac{x}{k} ) = \frac{\Delta x}{k} $$
• Potenze

  Se elevo una misura a una potenza \( n \), l’errore relativo si moltiplica per \( n \).

  Ad esempio, se calcolo il volume di un cubo, ogni lato ha un’incertezza relativa che si moltiplicherà per 3 poiché ci sono tre lati nel calcolo del volume, ossia una potenza di 3.

Quindi, ogni operazione matematica fatta su valori approssimati porta con sé un’incertezza nel calcolo ma in modo diverso.

Conoscere come si propaga l’errore mi permette di interpretare e utilizzare i risultati delle misure in modo rigoroso.

Un esempio pratico

A] Addizione

Devo misurare le dimensioni di un tavolo rettangolare con un metro a nastro che ha la sensibilità fino a 1 millimetro.

Le misure del tavolo sono:

• \( X = (100,0 \pm 0,1) \ \text{cm} \)
• \( Y = (50,0 \pm 0,1) \ \text{cm} \)

La sensibilità dello strumento introduce in ogni misura un intervallo di indeterminazione di 1 millimetro ovvero di 0,1 centimetri.

Utilizzando questi dati analizzo la propagazione dell'errore nelle varie operazioni matematiche.

Il semiperimetro \( p \) del rettangolo è:

$$ p = X + Y = 100,0 + 50,0 = 150,0 \ \text{cm} $$

Secondo il teorema della propagazione dell'errore, l'errore assoluto della somma è uguale alla somma degli errori assoluti degli addendi

$$ E = \Delta X + \Delta Y = 0,1 + 0,1 = 0,2 \ \text{cm} $$

Quindi, posso scrivere il semiperimetro come:

$$ p = (150,0 \pm E) = (150,0 \pm 0,2) \ \text{cm} $$

B] Moltiplicazione

Continuo l'esempio precedente del tavolo con le seguenti misure:

• \( X = (100,0 \pm 0,1) \ \text{cm} \)
• \( Y = (50,0 \pm 0,1) \ \text{cm} \)

L’area \( a \) del tavolo è data dal prodotto \( X \times Y \)

$$ a = XY = 100,0 \times 50,0 = 5000,0 \ \text{cm}^2 $$

Secondo il teorema della propagazione, l'errore relativo della moltiplicazione è uguale alla somma degli errori relativi

$$ \frac{\Delta (XY) }{XY} = \frac{\Delta X}{X} + \frac{\Delta Y }{Y} $$

$$ \frac{\Delta (XY) }{XY}  =  \frac{0,1}{100} + \frac{0,1}{50} $$

$$ \frac{\Delta (XY) }{XY} = 0,003 $$

Quindi l'errore assoluto del prodotto è

$$ \Delta (XY) = 0,003 \cdot XY $$

$$ \Delta (XY) = 0,003 \cdot 5000,0  \ \text{cm}^2 $$

$$ \Delta (XY) = 15,0  \ \text{cm}^2 $$

Pertanto, l'area del tavolo posso esprimerla come:

$$ a = XY \pm \Delta XY = 5000,0 \pm 15,0 \ \text{cm}^2 $$

C] Potenza

Vediamo come funziona la propagazione degli errori nel calcolo di una potenza applicata a una misura.

Per esempio, voglio calcolare il volume \( V \) di una scatola rettangolare con le seguenti misure della scatola e i rispettivi errori assoluti:

• \( X = 50,0 \pm 0,1 \ \text{cm} \)
• \( Y = 50,0 \pm 0,1 \ \text{cm} \)
• \( Z = 50,0 \pm 0,1 \ \text{cm} \)

Il volume \( V \) della scatola è dato dal prodotto delle tre dimensioni:

$$ V = X \cdot Y \cdot Z  $$

Calcolo il volume usando i valori nominali (senza errori):

$$ V = 50,0 \ \text{cm} \cdot 50,0 \ \text{cm} \cdot 50,0 \ \text{cm} = 125000 \ \text{cm}^3 $$

Sapendo che l'errore relativo del volume è la somma degli errori relativi delle singole dimensioni:

$$ \frac{ \Delta V }{ V } = \left( \frac{\Delta X}{X} + \frac{\Delta Y}{Y} + \frac{\Delta Z}{Z} \right) $$

Quindi, l'errore assoluto del volume è:

$$ \Delta V = V \left( \frac{\Delta X}{X} + \frac{\Delta Y}{Y} + \frac{\Delta Z}{Z} \right) $$

Ora devo calcolare ciascun errore relativo per \( X \), \( Y \), e \( Z \):

• Errore relativo di \( X \) $$ \frac{\Delta X}{X} = \frac{0,1}{50,0} = 0,002 $$
• Errore relativo di \( Y \) $$ \frac{\Delta Y}{Y} = \frac{0,1}{50,0} = 0,002 $$
• Errore relativo di \( Z \) $$ \frac{\Delta Z}{Z} = \frac{0,1}{50,0} = 0,002 $$

Sommo ora questi errori relativi per trovare l’errore relativo totale del volume:

$$ \frac{\Delta V}{V} \approx 0,002 + 0,002 + 0,002 = 0,006 $$

Per trovare l’errore assoluto \( \Delta V \), moltiplico l’errore relativo totale per il volume nominale \( V \):

$$ \Delta V = V \cdot 0,006 $$

$$ \Delta V = 125000 \cdot 0,006 = 750 \ \text{cm}^3 $$

Pertanto, il volume della scatola, considerando gli errori di misura, può essere espresso come:

$$ V = 125000 \pm 750 \ \text{cm}^3 $$

Dimostrazione

A] Somma e sottrazione

Devo dimostrare che l'errore assoluto della somma di due grandezze misurate è la somma degli errori assoluti dei singoli operandi.

Ho due misure approssimate:

• \( x \pm \Delta x \), dove \( x \) è il valore misurato e \( \Delta x \) è l'errore assoluto associato a \( x \).
• \( y \pm \Delta y \), dove \( y \) è il valore misurato e \( \Delta y \) è l'errore assoluto associato a \( y \).

Voglio calcolare la somma delle due misure, tenendo conto degli errori.

Quando sommo le due misure con i rispettivi errori, ottengo:

$$ (x \pm \Delta x) + (y \pm \Delta y) $$

Quindi, la somma può assumere due valori estremi:

• Caso massimo: \( (x + \Delta x) + (y + \Delta y) = (x + y) + \Delta x + \Delta y \)
• Caso minimo: \( (x - \Delta x) + (y - \Delta y) = (x + y) - \Delta x - \Delta y \)

Questo significa che l'intervallo entro cui può trovarsi il risultato della somma \( x + y \) è dato da:

$$ (x + y) \pm (\Delta x + \Delta y) $$

Ho così dimostrato che la somma delle misure è \( x + y \) e il suo errore assoluto è \( \Delta x + \Delta y \).

Pertanto:

$$ (x \pm \Delta x) + (y \pm \Delta y) = (x + y) \pm (\Delta x + \Delta y) $$

In altre parole, l'errore assoluto della somma è la somma degli errori assoluti dei singoli operandi.

B] Moltiplicazione e divisione

Per dimostrare che l'errore relativo della moltiplicazione di due grandezze è la somma degli errori relativi dei singoli operandi, considero le seguenti grandezze misurate con i rispettivi errori assoluti:

• \( x \pm \Delta x \), dove \( x \) è il valore misurato e \( \Delta x \) è l'errore assoluto su \( x \).
• \( y \pm \Delta y \), dove \( y \) è il valore misurato e \( \Delta y \) è l'errore assoluto su \( y \).

Voglio calcolare l’errore relativo del prodotto \( x \cdot y \) in termini degli errori relativi di \( x \) e \( y \).

Il prodotto \( xy \) con i suoi errori estremi si può esprimere come:

$$ (x \pm \Delta x) \cdot (y \pm \Delta y) $$

Il prodotto \( xy \) può assumere i seguenti valori estremi:

• Caso massimo: \((x + \Delta x)(y + \Delta y)\)
• Caso minimo: \((x - \Delta x)(y - \Delta y)\)

Mi interessa ora espandere l’espressione del caso massimo, dato che rappresenta il valore estremo positivo, e vedere come varia il prodotto rispetto all’errore.

Espando l’espressione \((x + \Delta x)(y + \Delta y)\):

$$ (x + \Delta x)(y + \Delta y) = xy + x \Delta y + y \Delta x + \Delta x \Delta y $$

Dato che gli errori \( \Delta x \) e \( \Delta y \) sono tipicamente piccoli rispetto a \( x \) e \( y \), posso trascurare il termine \( \Delta x \Delta y \) e scrivere approssimativamente:

$$ (x + \Delta x)(y + \Delta y) \approx xy + x \Delta y + y \Delta x $$

Quindi, l’errore assoluto sul prodotto \( xy \) è approssimativamente:

$$ \Delta(xy) \approx x \Delta y + y \Delta x $$

L'errore relativo è dato dal rapporto tra l'errore assoluto e il valore misurato.

$$ \frac{\Delta(xy)}{xy} \approx \frac{x \Delta y + y \Delta x}{xy} $$

Scompongo questa frazione:

$$ \frac{\Delta(xy)}{xy} \approx \frac{x \Delta y}{xy} + \frac{y \Delta x}{xy} $$

$$ \frac{\Delta y}{y} + \frac{\Delta x}{x} $$

Ho così dimostrato che l'errore relativo del prodotto \( xy \) è la somma degli errori relativi dei singoli operandi \( x \) e \( y \):

$$ \frac{\Delta(xy)}{xy} \approx \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}  $$

In altre parole l'errore relativo della moltiplicazione è la somma degli errori relativi degli operandi.

E così via.