Esercizio sulle equazioni differenziali 26
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ \begin{cases} y''+6y'+8y = 0 \\ y(0)=-2 \\ y'(0)=1 \end{cases} $$
E' un'equazione differenziale del 2° ordine omogenea con due condizioni iniziali ( problema di Cauchy ).
Scrivo l'equazione caratteristica con la variabile ausiliaria z
$$ z^2+6z+8=0 $$
$$ z = \frac{-6 \pm \sqrt{36-32}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2} = \begin{cases} z=\frac{-6-2}{2}=-4 \\ \\z=\frac{-6+2}{2}=-2 \end{cases} $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni distinte z1=-4 e z2=-2
Quindi, la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-2x} $$
La derivata prima della soluzione generale è
$$ y' = c_1 (-4) e^{-4x} + c_2 (-2) e^{-2x} $$
Metto le due equazioni a sistema
$$ \begin{cases} y = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-2x} \\ \\ y' = -4 c_1 e^{-4x} + -2 c_2 e^{-2x} \end{cases} $$
Poi sostituisco le condizioni iniziali x=0, y=-2, y'=1 nella soluzione generale
$$ \begin{cases} -2 = c_1 e^{-4 \cdot 0} + c_2 e^{-2 \cdot 0} \\ \\ 1 = -4 c_1 e^{-4 \cdot 0} + -2 c_2 e^{-2 \cdot 0} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} -2 = c_1 e^0 + c_2 e^0 \\ \\ 1 = -4 c_1 e^0 + -2 c_2 e^0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} -2 = c_1 + c_2 \\ \\ 1 = -4 c_1 + -2 c_2 \end{cases} $$
Risolvo il sistema di equazioni per sostituzione
$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ 1 = -4 \cdot (-2-c_2) + -2 c_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ 1 = 8+4c_2 + -2 c_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ 1-8 = 2c_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ c_2 = -\frac{7}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1 =-2-(-\frac{7}{2}) \\ \\ c_2 = -\frac{7}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1 =\frac{-4+7}{2} \\ \\ c_2 = -\frac{7}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1 =\frac{3}{2} \\ \\ c_2 = -\frac{7}{2} \end{cases} $$
Una volta trovate le costanti c1=3/2 e c2=-7/2 le sostituisco nella soluzione generale
$$ y = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-2x} $$
$$ y = \frac{3}{2} e^{-4x} - \frac{7}{2} e^{-2x} $$
Quest'ultima è la soluzione al problema di Cauchy.
E così via.