Esercizio sulle equazioni differenziali 26

Devo risolvere l'equazione differenziale

$$ \begin{cases} y''+6y'+8y = 0 \\ y(0)=-2 \\ y'(0)=1 \end{cases} $$

E' un'equazione differenziale del 2° ordine omogenea con due condizioni iniziali ( problema di Cauchy ).

Scrivo l'equazione caratteristica con la variabile ausiliaria z

$$ z^2+6z+8=0 $$

$$ z = \frac{-6 \pm \sqrt{36-32}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2} = \begin{cases} z=\frac{-6-2}{2}=-4 \\ \\z=\frac{-6+2}{2}=-2 \end{cases} $$

L'equazione caratteristica ha due soluzioni distinte z1=-4 e z2=-2

Quindi, la soluzione generale dell'equazione differenziale è

$$ y = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-2x} $$

La derivata prima della soluzione generale è

$$ y' = c_1 (-4) e^{-4x} + c_2 (-2) e^{-2x} $$

Metto le due equazioni a sistema

$$ \begin{cases} y = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-2x} \\ \\ y' = -4 c_1 e^{-4x} + -2 c_2 e^{-2x} \end{cases} $$

Poi sostituisco le condizioni iniziali x=0, y=-2, y'=1 nella soluzione generale

$$ \begin{cases} -2 = c_1 e^{-4 \cdot 0} + c_2 e^{-2 \cdot 0} \\ \\ 1 = -4 c_1 e^{-4 \cdot 0} + -2 c_2 e^{-2 \cdot 0} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} -2 = c_1 e^0 + c_2 e^0 \\ \\ 1 = -4 c_1 e^0 + -2 c_2 e^0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} -2 = c_1 + c_2 \\ \\ 1 = -4 c_1 + -2 c_2 \end{cases} $$

Risolvo il sistema di equazioni per sostituzione

$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ 1 = -4 \cdot (-2-c_2) + -2 c_2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ 1 = 8+4c_2 + -2 c_2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ 1-8 = 2c_2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ c_2 = -\frac{7}{2} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} c_1 =-2-(-\frac{7}{2}) \\ \\ c_2 = -\frac{7}{2} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} c_1 =\frac{-4+7}{2} \\ \\ c_2 = -\frac{7}{2} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} c_1 =\frac{3}{2} \\ \\ c_2 = -\frac{7}{2} \end{cases} $$

Una volta trovate le costanti c1=3/2 e c2=-7/2 le sostituisco nella soluzione generale

$$ y = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-2x} $$

$$ y = \frac{3}{2} e^{-4x} - \frac{7}{2} e^{-2x} $$

Quest'ultima è la soluzione al problema di Cauchy.

E così via.

 


 

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