Esercizio sulle equazioni differenziali 25

Devo risolvere l'equazione differenziale

$$ y' + \frac{1}{x} y = \frac{\sin x}{x} $$

E' un'equazione differenziale lineare del 1° ordine del tipo y+a(x)y=b(x) dove a(x)=1/x e b(x)=sin(x)/x.

Pertanto, l'equazione differenziale si risolve con il metodo di Lagrange

$$ y = e^{-\int a(x) dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) dx} \ dx + c ] $$

Sapendo che a(x)=1/x e b(x)=sin(x)/x

$$ y = e^{-\int \frac{1}{x} dx} \cdot [ \int \frac{\sin(x)}{x} \cdot e^{\int \frac{1}{x} dx} \ dx + c ] $$

L'integrale di 1/x è log(x)

$$ y = e^{-\log(x)} \cdot [ \int \frac{\sin(x)}{x} \cdot e^{\log(x)} \ dx + c ] $$

$$ y = \frac{1}{e^{\log(x)}} \cdot [ \int \frac{\sin(x)}{x} \cdot e^{\log(x)} \ dx + c ] $$

L'esponenziale e il logaritmo si semplificano

$$ y = \frac{1}{x} \cdot [ \int \frac{\sin(x)}{x} \cdot x \ dx + c ] $$

$$ y = \frac{1}{x} \cdot [ \int \sin(x) \ dx + c ] $$

L'integrale di sin(x) è -cos(x)

$$ y = \frac{1}{x} \cdot ( -\cos(x) + c ) $$

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale è

$$ y = \frac{c}{x} - \frac{\cos(x)}{x} $$

E così via.