Esercizio sulle equazioni differenziali 23
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y'' - y' = x $$
Si tratta di un'equazione differenziale lineare del 2° ordine non omogenea.
Per risolverla, suddivido il problema in due. Calcolo la soluzione omogenea e la soluzione particolare, infine le sommo tra loro.
La soluzione omogenea
L'equazione differenziale omogenea associata è
$$ y'' - y' = 0 $$
L'equazione caratteristica associata è
$$ z^2 - z = 0 $$
Trovo le soluzioni dell'equazione caratteristica
$$ z(z-1) = 0 $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni distinte
$$ z = \begin{cases} z = 0 \\ \\ z_1 \end{cases} $$
Pertanto, la soluzione generale dell'omogenea è
$$ y = c_1 e^{z_1 x} + c_2 e^{z_2 x} $$
$$ y = c_1 e^{0 \cdot x} + c_2 e^{1 \cdot x} $$
$$ y = c_1 + c_2 e^{x} $$
La soluzione particolare
Il termine noto dell'equazione differenziale mi permette di usare il metodo della somiglianza
$$ y'' - y' = x $$
Il termine noto è un polinomio di primo grado.
Essendo nell'equazione ay''+by'+cy = x i coefficienti c=0 e b≠0 la soluzione particolare è del tipo
$$ y_p = x \cdot (Ax + B) $$
$$ y_p = Ax^2 + Bx $$
Calcolo la derivata prima
$$ y'_p = D_x[ Ax^2 + Bx ] $$
$$ y'_p = 2Ax + B $$
Calcolo la derivata seconda
$$ y''_p = D_x[ 2Ax + B ] $$
$$ y''_p = 2A $$
Sostituisco y''p, y'p, yp nell'equazione differenziale
$$ y''_p - y'_p = x $$
Sapendo che yp''=2A
$$ 2A - y'_p = x $$
Sapendo che yp'=2Ax+B
$$ 2A - (2Ax+B) = x $$
$$ 2A - 2Ax - B = x $$
Eguaglio i coefficienti in entrambi i membri dell'equazione e ottengo
$$ \begin{cases} -2A =1 \\ \\ 2A-B = 0 \end{cases} $$
Spiegazione. Il coefficiente della x1 è -2 a sinistra e 1 a destra. Il coefficiente di x0=1 è 2A-B a sinistra e 0 a destra.
$$ \begin{cases} A =-\frac{1}{2} \\ \\ 2 \cdot ( -\frac{1}{2} )-B = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A =-\frac{1}{2} \\ \\ B = -1 \end{cases} $$
Una volta trovati i coefficienti A = -1/2 e B=-1 li sostituisco nella soluzione particolare
$$ y_p = Ax^2 + Bx $$
$$ y_p = (- \frac{1}{2})x^2 + (-1)x $$
Pertanto, la soluzione particolare dell'equazione differenziale è
$$ y_p = - \frac{x^2}{2} -x $$
La soluzione generale
La soluzione generale dell'equazione differenziale è uguale alla somma della soluzione omogenea e della soluzione particolare
$$ y = y_o + y_p $$
Pertanto, la soluzione generale è
$$ y = c_1 + c_2 e^{x} - \frac{x^2}{2} -x $$
E così via.
