Esercizio equazioni differenziali 29
Devo studiare l’equazione differenziale del primo ordine
$$ \begin{cases} y'=y^2 \cdot x^3 \\ \\ y(0)=7 \end{cases} $$
Si tratta di un problema di Cauchy con un’equazione differenziale a variabili separabili del tipo y’=f(x)g(y) con f(x)=x^3 e g(y)=y^2
Scrivo y’ nella notazione dy/dx
$$ \frac{dy}{dx}=y^2 \cdot x^3 $$
Separo le variabili y e x nei due membri dell’equazione
$$ \frac{dy}{y^2}=x^3 \ dx $$
Integro entrambi i membri per le rispettive variabili
$$ \int \frac{1}{y^2} dy = \int x^3 \ dx $$
Risolvo gli integrali
$$ -\frac{1}{y} +c_1 = \frac{1}{4} x^4 + c_2 $$
Sostituisco c=c2-c1 per avere una sola costante
$$ -\frac{1}{y} = \frac{1}{4} x^4 + c $$
Ricavo la funzione incognita y
$$ y = \frac{-1}{\frac{1}{4} x^4 + c} $$
$$ y = \frac{-1}{\frac{x^4 + 4c}{4}} $$
$$ y = \frac{-4}{ x^4 + 4c} $$
Essendo anche 4c una costante la indico semplicemente con la lettera c
Quindi, la soluzione generale dell’equazione differenziale è
$$ y = \frac{-4}{ x^4 + c} $$
Per risolvere il problema di Cauchy applico la condizione iniziale y(0)=7 e x=0
$$ 7 = \frac{-4}{ 0^4 + c} $$
$$ 7 = \frac{-4}{ c} $$
Ricavo la costante c
$$ c = \frac{-4}{7} $$
Sostituisco la costante c=-4/7 nella soluzione generale
$$ y = \frac{-4}{ x^4 + c} $$
$$ y = \frac{-4}{ x^4 - \frac{4}{7}} $$
$$ y = \frac{-4}{ \frac{7x^4 - 4}{7}} $$
$$ y = \frac{-4 \cdot 7}{7x^4 - 4} $$
Quindi, la soluzione del problema di Cauchy
$$ y = \frac{-28}{7x^4 - 4} $$
E così via
