Esercizio equazioni differenziali 28
Devo risolvere l'equazione differenziale del primo ordine
$$ \begin{cases} y'=\cos^2 y \\ \\ y(0)=0 \end{cases} $$
Si tratta di un problema di Cauchy in quanto sono fissate delle condizioni iniziali.
Per trovare la soluzione generale utilizzo il metodo delle variabili separabili in quanto l'equazione rientra nella tipologia y=a(x)b(y) con a(x)=1 e b(y)=cos2(y)
$$ y' = \cos^2 y $$
Riscrivo y' nella notazione dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} = \cos^2 y $$
Separo le variabili nei due membri dell'equazione
$$ \frac{1}{\cos^2 y} \ dy = \ dx $$
Poi integro entrambi i membri per le rispettive variabili
$$ \int \frac{1}{\cos^2 y} \ dy = \int \ dx $$
L'integrale a destra è uguale a x+c
$$ \int \frac{1}{\cos^2 y} \ dy = x+c $$
L'integrale a sinistra è uguale a tan(y)
$$ \tan(y) = x+c $$
Applico le condizioni iniziali x=0 e y(x)=0 per trovare il valore della costante
$$ \tan(0) = 0+c $$
Sapendo che tan(0)=0
$$ c = 0 $$
Pertanto, tenendo conto delle condizioni iniziali (c=0) la soluzione dell'equazione differenziale è
$$ \tan(y) = x+c $$
$$ \tan(y) = x $$
Ricavo la x applicando l'arcotangente a entrambi i membri
$$ \arctan( \tan(y) ) = \arctan( x ) $$
$$ y = \arctan( x ) $$
Quest'ultima è la soluzione del problema di Cauchy
Nota. Verifico se l'equazione ha anche soluzioni costanti. Se x=0 e y=0 $$ y'=\cos^2 y $$ $$ y'=\cos^2 0 $$ $$ y'=1 $$ L'equazione differenziale non ha soluzioni costanti.
E così via.
