Esercizio equazione differenziale 9
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y' + y = 0 $$
Si tratta di un'equazione differenziale omogenea del primo ordine che posso risolvere in due modi diversi
Metodo 1
L'equazione differenziale è del tipo y'+f(x)g(y)=0 a variabili separate con g(y)=y e f(x)=1
$$ y' + y = 0 $$
Quindi posso usare il metodo delle variabili separabili.
Esplicito la variabile y
$$ y' = - y $$
Riscrivo la derivata prima y' nella notazione dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} = - y $$
Separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione
$$ \frac{dy}{y} = - dx $$
Poi integro entrambi i membri per le rispettive variabili
$$ \int \frac{dy}{y} \ dy = \int - dx $$
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = \int -1 \ dx $$
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = - \int 1 \ dx $$
L'integrale a destra si risolve con la primitiva x+c
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = - x + c $$
L'integrale a sinistra si risolve con la primitiva log y
$$ \log y = - x + c $$
Per ricavare la funzione incognita applico l'esponenziale in entrambi i membri dell'equazione
$$ e^{\log y} = e^{- x + c} $$
$$ y = e^{- x} \cdot e^c $$
Il termine ec è un valore costante, quindi posso indicarlo semplicemente con la lettera c.
$$ y = e^{- x} \cdot c $$
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
Metodo 2
L'equazione differenziale è del tipo lineare omogenea y'+a(x)y=b(x) con a(x)=1 e b(x)=0
Quindi, per risolverla posso usare il metodo di Lagrange.
$$ y = e^{-\int a(x) \ dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \ dx} \ dx + c ] $$
Sostituisco a(x)=1 e b(x)=0
$$ y = e^{-\int 1 \ dx} \cdot [ \int 0 \cdot e^{\int 1 \ dx} \ dx + c ] $$
$$ y = e^{-\int 1 \ dx} \cdot [ 0 + c ] $$
$$ y = e^{-\int 1 \ dx} \cdot c $$
L'integrale di 1 è la primitiva x
$$ y = e^{-x} \cdot c $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E' lo stesso risultato ottenuto con il primo metodo.
E così via.
