Esercizio equazione differenziale 16
Devo risolvere questa equazione differenziale del primo ordine
$$ y' + y \cos x = \cos x $$
E' un'equazione differenziale lineare del tipo y'+ya(x)=b(x) con a(x)=cos(x) e b(x)=cos(x).
Quindi posso risolverla con il metodo di Lagrange.
$$ y = e^{- \int a(x) \ dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) dx} + c ] $$
Sostituisco a(x)=cos(x) e b(x)=cos(x)
$$ y = e^{- \int \cos(x) \ dx} \cdot [ \int \cos(x) \cdot e^{\int \cos(x) dx} + c ] $$
L'integrale del coseno si risolve con la funzione primitiva seno.
$$ y = e^{- \sin(x) } \cdot [ \int \cos(x) \cdot e^{\sin} + c ] $$
L'integrale cos(x)*esin(x) si risolve con la funzione primitiva esin(x)
$$ y = e^{- \sin(x) } \cdot [ e^{\sin(x)} + c ] $$
$$ y = e^{- \sin(x) } \cdot e^{\sin(x)} + e^{- \sin(x) } \cdot c $$
$$ y = 1 + e^{- \sin(x) } \cdot c $$
Quindi la soluzione del'integrale è
$$ y = 1 + e^{- \sin(x) } \cdot c $$
E così via.
