Esercizio equazione differenziale 15
Devo studiare questa equazione differenziale del primo ordine
$$ y' + y = 1 $$
E' un'equazione differenziale lineare del tipo y'+a(x)y=b(x) considerando a(x)=1 e b(x)=1.
Quindi, per risolverla applico il metodo delle variazioni delle costanti.
$$ y= e^{-\int a(x) \ dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \ dx} + c ] $$
Sostituisco a(x)=1 e b(x)=1
$$ y=e^{-\int 1 \ dx} \cdot [ \int 1 \cdot e^{\int 1 \ dx} + c ] $$
L'integrale ∫1 è la primitiva x
$$ y=e^{-x} \cdot [ \int e^{\int x \ dx} + c ] $$
L'integrale dell'esponenziale ex è la primitiva ex
$$ y=e^{-x} \cdot [ e^x + c ] $$
$$ y=e^{-x} \cdot e^x + e^{-x} \cdot c $$
$$ y=1 + e^{-x} \cdot c $$
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = c \cdot e^{-x} +1 $$
E così via.
