Esercizio equazione differenziale 14
Devo studiare l'equazione differenziale
$$ y'+xy+x = 0 $$
E' un'equazione differenziale del primo ordine.
E' un'equazione differenziale lineare y'+a(x)y=b(x) con a(x)=x e b(x)=-x
$$ y'+xy = -x $$
Essendo un'equazione differenziale lineare del primo ordine, posso risolverla con il metodo della variazione delle costanti.
$$ y = e^{-\int a(x) dx} \cdot [ \int b(x)e^{\int a(x)dx} dx + c] $$
Sostituisco a(x)=x e b(x)=-x
$$ y = e^{-\int x \ dx} \cdot [ \int -x \cdot e^{\int x \ dx} dx + c] $$
$$ y = e^{-\int x \ dx} \cdot [ - \int x \cdot e^{\int x \ dx} dx + c] $$
L'integrale di x è la primitiva x2/2
$$ y = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot [ - \int x \cdot e^{\frac{x^2}{2}} dx + c] $$
L'ultimo integrale si risolve con la primitiva e(x^2/2)
$$ y = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot [ - e^{\frac{x^2}{2}} + c] $$
Nota. La derivata della primitiva è $$ D[ e^{\frac{x^2}{2}} ] = e^{\frac{x^2}{2}} \cdot D[\frac{x^2}{2} ] = e^{\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{2x}{2} = e^{\frac{x^2}{2}} \cdot x $$
A questo punto svolgo gli ultimi passaggi algebrici
$$ y = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot ( - e^{\frac{x^2}{2}} ) + e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot c$$
$$ y = - e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot e^{\frac{x^2}{2}} + e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot c$$
$$ y = - \frac{e^{\frac{x^2}{2}}}{e^{\frac{x^2}{2}}} + e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot c$$
$$ y = -1 + e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot c$$
Quindi la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} -1$$
E così via.
