Omomorfismo di gruppi
Nell'algebra astratta un omomorfismo di gruppi di G in H è un'applicazione f tra due gruppi (G,·) e (H,*) $$ f:G \rightarrow H $$ tale che per ogni coppia di elementi a,b appartenenti a G si ha $$ \forall \ a,b \in G \Rightarrow f(a \ · \ b)=f(a)*f(b) $$
In un omomorfismo tra gruppi ogni elemento g∈G ha un'unica immagine h=f(g)∈H
$$ \forall \ g \in G \Rightarrow h=f(g) \in H $$
In questi casi si parla di omomorfismo di G in H
Nota. L'omomorfismo tra gruppi è una delle tipologie di omomorfismo dell'algebra astratta che mette in corrispondenza due insiemi con la stessa struttura algebrica. In questo caso, due gruppi.
Nel caso in cui, oltre alla condizione precedente, ogni elemento h∈H è un'immagine di f:G→H
$$ \forall \ h \in H \ \exists \ g \in G \ \ | \ \ h=f(g) $$
allora si parla di omomorfismo di G su H e il gruppo H è detto immagine omomorfa di G.
Un esempio pratico
Considero il gruppo additivo (Z,+) e il gruppo moltiplicativo (Z,·) e l'unità immaginaria (i) dei numeri complessi.
La relazione f:n→in è un omomorfismo di (Z,+) su (Z,·)
$$ f:n \rightarrow i^n $$
perché la condizione che segue è soddisfatta per qualsiasi coppia a,b∈Z
$$ \forall \ a,b \in Z \Rightarrow f(a \ + \ b)=f(a)·f(b) $$
Dimostrazione
Sapendo che la relazione f=in allora f(a+b)=ia+b e f(a)·f(b)=ia·ib
$$ \forall \ a,b \in Z \Rightarrow f(a \ + \ b)=f(a)·f(b) $$
$$ \forall \ a,b \in Z \Rightarrow i^{a \ + \ b} =i^a·i^b $$
L'identità ia+b=ia·ib è soddisfatta per qualsiasi coppia di valori a,b in quanto per la proprietà delle potenze con stessa base ix·iy=ix+y
Verifica
Ad esempio, considero due valori a=3 e b=2 di Z
$$ f(3 \ + \ 2)=f(3)·f(2) $$
$$ f(5)=f(3)·f(2) $$
Sapendo che f(n)=in allora f(5)=i5, f(3)=i3 e f(2)=i2
$$ i^5=i^3·i^2 $$
Devo verificare se questa eguaglianza è vera.
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1 allora i5=i2·i2·i=(-1)·(-1)·i=i
Quindi sostituisco i5=i al primo membro dell'equazione
$$ i^5=i^3·i^2 $$
$$ i=i^3·i^2 $$
Sapendo che i2=-1 allora i3=i2·i=(-1)·i=-i
Quindi sostituisco i3=-i e i2=-1 al secondo membro dell'equazione
$$ i=i^3·i^2 $$
$$ i=(-i)·(-1) $$
$$ i=i $$
L'identità è soddisfatta per la coppia di valori a=3 e b=2 di Z
Teoremi sull'omomorfismo tra gruppi
Alcuni teoremi e corollari sull'omomorfismo tra gruppi
- In un omomorfismo tra due gruppi G e H, i due gruppi hanno sempre lo stesso elemento identità
- In un omomorfismo tra due gruppi G e H, se due elementi g∈G e h∈H coincidono g=h, allora coincidono anche i loro elementi inversi.
- L'immagine omomorfa di un gruppo ciclico è ciclica.
E così via.
