Elemento inverso in un gruppo

Per ogni elemento $ a $ del gruppo $ G $, esiste un elemento inverso $ b = a^{-1} $ tale che, quando combinato con $ a $ tramite l'operazione $ * $, restituisce l'elemento neutro $ e $ del gruppo. $$ a * b = b * a = e $$

E' una delle proprietà che un gruppo (G,*) deve soddisfare, oltre alla chiusura, l'associatività e l'esistenza di un elemento neutro.

In altre parole, l'inverso di $ a $ "annulla" l'effetto di $ a $ rispetto all'operazione $ * $.

$$ a * a^{-1} = a^{-1} * a = e $$

L'esistenza dell'elemento inverso per ogni elemento in $ G $ assicura che, all'interno del gruppo, ogni operazione possa essere "invertita".

E' importante sottolineare che la definizione di elemento inverso non dipende dall'ordine dell'operazione, specialmente in gruppi non abeliani dove l'ordine può influenzare il risultato.

Un esempio pratico
Osservazioni

Un esempio pratico

Nel gruppo additivo dei numeri interi $ (\mathbb{Z}, +) $ l'elemento neutro è $ 0 $, mentre l'elemento l'inverso di un qualsiasi numero intero $ a $ è il suo opposto $ -a $, poiché $ a + (-a) = 0 $.

Ad esempio, l'elemento inverso di 5 è -5 e viceversa perché $ 5 + (-5) = 0 $

Esempio 2

Nel gruppo moltiplicativo dei numeri reali $ (\mathbb{R}^*, \cdot) $ l'elemento neutro è $ 1 $, mentre l'elemento inverso di un qualsiasi numero reale diverso da zero $ a $ è il suo reciproco $ \frac{1}{a} $, poiché $ a \cdot \frac{1}{a} = 1 $.

Ad esempio, l'elemento inverso di 5 è 1/5 e viceversa perché $ 5 \cdot \frac{1}{5} = 1 $

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine sugli elementi inversi nei gruppi

In un gruppo (G,*) l'elemento inverso $ a^{-1} $ di ogni elemento $ a \in G $ è unico.
Dimostrazione. Per ipotesi assurda ipotizzo che un elemento $ a \in G $ abbia due elementi inversi $ a' $ e $a'' $. Sapendo che nell'operazione binaria * l'elemento neutro $ e $ non modifica l'altro elemento, posso scrivere $$ a' = e * a' $$ Poiché per ipotesi anche $ a'' $ è un elemento inverso di $ a $, posso sostituire l'elemento inerso con $ e=a''*a $ $$ a' = (a''*a) * a' $$ Applico la proprietà associativa e ottengo $$ a' = a''*(a*a') $$ Sapendo che a' è l'inverso di a, deduco che $ a*a'=e $ $$ a' = a''*e $$ Poiché l'elemento inverso $ e $ non modifica l'altro elemento $ a''*e = a'' $ $$ a' = a'' $$ Questo dimostra che, se $ a' $ e $ a'' $ sono entrambi l'inverso di $ a $, allora sono lo stesso elemento
L'inverso del prodotto di due elementi del gruppo (G,*) è il prodotto dei loro inversi in ordine inverso $$ (a*b)^{-1} = b^{-1}*a^{-1} $$ Questa formula esprime l'inverso del prodotto di due elementi a e b in un gruppo. La ragione per cui l'ordine degli inversi è invertito, rispetto all'ordine degli elementi nel prodotto originale, si basa sulle proprietà dei gruppi, in particolare l'associatività e l'esistenza degli elementi inversi.

Dimostrazione. Per dimostrare che $(a*b)^{-1} = b^{-1}*a^{-1}$, devo mostrare che moltiplicare $a*b$ per $b^{-1}*a^{-1}$ mi dà l'elemento neutro $e$, che è la definizione di un inverso. In altre parole, devo provare che: $$ (a*b)*(b^{-1}*a^{-1}) = e $$ Applico la proprietà associativa dell'operazione $*$ nel gruppo: $$ (a*(b*b^{-1}))*a^{-1} $$ Sapendo che $b*b^{-1} = e$ perché $b^{-1}$ è l'inverso di $b$: $$ (a*e)*a^{-1} $$ L'elemento neutro $e$ non cambia l'elemento con cui è moltiplicato: $$ a*a^{-1} $$ Infine, sapendo che $a*a^{-1} = e$ perché $a^{-1}$ è l'inverso di $a$, ottengo $$ a*a^{-1} = e $$ Questa dimostrazione mostra che moltiplicare $a*b$ per $b^{-1}*a^{-1}$ effettivamente mi dà l'elemento neutro $e$, dimostrando che $b^{-1}*a^{-1}$ è l'inverso di $a*b$, ovvero $(a*b)^{-1} = b^{-1}*a^{-1}$.

L'errore comune di pensare che l'inverso di $a*b$ sia $a^{-1}*b^{-1}$ deriva dal non considerare l'ordine nell'operazione di gruppo, che è cruciale soprattutto in gruppi non abeliani (dove $a*b \neq b*a$). In tali contesti, l'ordine degli elementi e dei loro inversi è fondamentale per mantenere le relazioni corrette.

E così via.