Sottogruppo generato da un insieme di elementi
Un sottogruppo <X> generato da un insieme X⊆G di elementi in un gruppo (G,*) comprende tutti gli elementi che possono essere ottenuti effettuando ripetutamente le operazioni * del gruppo sugli elementi x∈X e i loro inversi.
Se l'insieme X è composto da un solo elemento X={x} si parla di sottogruppo ciclico.
E' il sottogruppo più piccolo che include gli elementi dell'insieme X e tutte le loro possibili combinazioni tramite le operazioni del gruppo.
Un esempio pratico
Considero il gruppo additivo (Z,+) dei numeri interi rispetto all'addizione
Di questi prendo il sottoinsieme di elementi X={2,3}.
Il sottogruppo generato da X include tutte le combinazioni lineari degli elementi rispetto all'addizione.
$$ <X> = \{ 2a+3b \ , \ a,b \in Z \} $$
Dove "a" e "b" sono i coefficienti, ovvero due numeri interi qualsiasi che moltiplicano gli elementi 2 e 3.
Ad esempio
$$ 2 \cdot 1+3 \cdot 1=5 $$
$$ 2 \cdot 2+3 \cdot 1=4+3=7 $$
$$ 2 \cdot 1+3 \cdot 2=2+6=8 $$
$$ 2 \cdot 2+ 3 \cdot 2=4+6=10 $$
$$ -2+3=1 $$
$$ \vdots $$
In questo caso, l'insieme X genera tutto il gruppo (Z,+) perché l'operazione $ -2+3=1 $ . Quindi mi basta moltiplicare questo prodotto per un opportuno coefficiente e ottenere qualsiasi numero intero.
$$ <X> = (Z,+) $$
Nota. E' interessante notare che ogni sottogruppo include sempre l'elemento neutro dell'operazione del gruppo. Ad esempio, nel gruppo additivo (Z,+) l'elemento neutro è lo zero. Per ottenerlo mi basta usare due coefficienti nulli a=0, b=0. $$0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 0 $$
Esempio 2
Considero il gruppo additivo (Z,+) rispetto all'addizione.
Questa volta considero un insieme X composto dai numeri 2 e 6.
$$ X= \{2,6 \} $$
Sapendo che la somma di due numeri pari non potrà mai produrre una somma dispari, deduco che questo sottogruppo possa generare soltanto i numeri pari.
$$ 2+(-2)=0 $$
$$ 2+6 \cdot 0 = 2 $$
$$ 2 \cdot 2+6 \cdot 0 = 4 $$
$$ 0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 6 $$
$$ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 8 $$
$$ 2 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 10 $$
Pertando, il sottogruppo generato dall'insieme X={2,6} è composto solo dai numeri pari rispetto all'addizione.
$$ <X>= (2Z,+) $$
Esempio 3
Considero il gruppo additivo $ (Z_6,+) $ dei numeri interi modulo 6 rispetto all'addizione.
$$ Z_6 = \{0,1,2,3,4,5 \} $$
In questo esercizio prendo come riferimento il sottoinsieme di elementi X={2,4}
$$ X = \{2, 4 \} $$
Nel gruppo additivo \((\mathbb{Z}_6, +)\), il sottogruppo generato da \(X = \{2, 4\}\) include effettivamente tutte le possibili somme di 2 e 4 modulo 6.
Ogni elemento viene espresso come una somma di 2 e 4 modulo 6.
$$ 2 + 2 = 4 \mod 6 $$
$$ 2 + 4 = 6 \mod 6 = 0 $$
$$ 4 + 4 = 8 \mod 6 = 2 $$
$$ 2 + 2 + 2 = 6 \mod 6 = 0 $$
$$ 4 + 4 + 4 = 12 \mod 6 = 0 $$
$$ 2 + 4 + 4 = 10 \mod 6 = 4 $$
$$ \vdots $$
Da questi calcoli mi accorgo che i multipli e le somme di 2 e 4 si riducono sempre a 0, 2, o 4 modulo 6.
Pertanto, il sottogruppo generato da \(X\) è:
$$ \langle X \rangle = \{0, 2, 4\} $$
Questo sottogruppo contiene l'elemento neutro 0, e ogni elemento ha un inverso all'interno del sottogruppo, perché l'inverso di 2 è 4 e viceversa, poiché \(2 + 4 = 6 \mod 6 = 0\)).
Inoltre, \( \langle X \rangle \) è chiuso sotto l'addizione modulo 6.
E così via
