Gruppo abeliano

Cos'è un gruppo abeliano

Un gruppo abeliano è un gruppo in cui l'operazione beneficia della proprietà commutativa.

Per questa ragione è anche detto gruppo commutativo.

Prende il nome dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

Un esempio pratico

Il gruppo composto dai numeri interi (Z) e dall'operazione di addizione (+) è un gruppo abeliano (gruppo commutativo)

$$ (Z,+) $$

perché l'operazione di addizione (+) rispetta la proprietà commutativa.

Se considero due elementi diversi a,b appartenenti all'insieme dei numeri interi Z vale la relazione

$$ a+b = b+a \ \ \ \ \ \forall \ a,b \in Z $$

Nota. Per il resto l'insieme dei numeri interi e l'operazione di addizione (Z,+) sono un gruppo perché rispettano la proprietà associativa $$ a + (b+c) = (a+b)+c $$ esiste un elemento neutro $$ a+0 = 0+a = a $$ e ogni elemento ha un elemento inverso rispetto all'operazione considerata (addizione) $$ a + (-a) = (-a)+a= 0 $$

Un altro esempio

L'insieme dei numeri interi e l'operazione di moltiplicazione (Z,*) non sono un gruppo perché non esiste l'inverso di 0 (divisione per zero impossibile).

$$ (Z,*) $$

Quindi, non essendo un gruppo, la struttura algebrica (Z,*) non è nemmeno un gruppo abeliano.

E così via.