L'ordine di un elemento in un gruppo
L'ordine di un elemento \(g\) in un gruppo \( (G, *) \) è il più piccolo numero intero positivo \(r\) tale che \(g^r = e\), dove \(e\) rappresenta l'elemento neutro del gruppo.
In altre parole, l'ordine di \(g\) mi indica quante volte devo applicare l'operazione * del gruppo all'elemento \(g\) con se stesso per ritornare all'elemento neutro. Ad esempio:
$$ \underbrace{g*g*...*g}_{r \ volte} = e $$
E' utile per analizzare la struttura ciclica dei gruppi.
L'ordine di un elemento può essere finito o infinito
- Ordine finito
L'ordine di un elemento g è finito se l'elemento g compare un numero n di volte, prima di incontrare l'elemento neutro del gruppo. - Ordine infinito
L'ordine di un elemento g è infinito se l'elemento g compare infinite volte, senza mai eguagliare l'elemento neutro del gruppo.
Nota. L'esistenza di un ordine finito per un elemento dipende strettamente dalla natura del gruppo e dall'elemento stesso. Nei gruppi finiti, ogni elemento ha necessariamente un ordine finito compreso tra 1 e l'ordine del gruppo (cardinalità). Nei gruppi infiniti, invece, alcuni elementi possono avere ordine infinito, cioè, non esiste un numero finito di operazioni che riporti l'elemento all'elemento neutro.
Un esempio pratico
Gruppo degli interi sotto l'addizione ( $ \mathbb{Z}, + $ ):
Considero l'elemento \(1\) nel gruppo additivo $ \mathbb{Z}, + $ .
L'elemento neutro è \(0\) ma sommando \(1\) a se stesso non otterrò mai \(0\), il che significa che l'ordine dell'elemento \(1\) è infinito.
Nota. Anche l'elemento $ 2 $ ha l'ordine infinito, perché qualsiasi multiplo di 2 è diverso dall'elemento neutro. Ad esempio 2+2=4, 2+2+2=6, ecc. L'unico elemento del gruppo additivo (Z,+) ad avere un ordine finito è l'elemento zero che, essendo anche l'elemento neutro del gruppo, ha l'ordine uguale a uno.
Gruppo delle classi di resto modulo \(n\) ( $ \mathbb{Z}_n, + $ ):
Prendo \( \mathbb{Z}_4 \), il gruppo delle classi di resto modulo 4 con l'operazione di addizione $ ( \mathbb{Z}_4 , + ) $.
L'insieme $ \mathbb{Z}_4 $ è composto da soli quattro elementi.
$$ \mathbb{Z}_4 = \{ 0 , 1, 2, 3 \} $$
L'elemento $ 2 $ ha ordine \(2\) perché sommando \(2\) a se stesso ottengo \(0\) modulo \(4\), che è l'elemento neutro del gruppo.
$$ 2 + 2 = 4 \equiv 0 \mod 4 $$
L'elemento $ 1 $, invece, ha ordine $ 4 $ perché sono necessarie 4 operazioni con se stesso per tornare all'elemento neutro del gruppo, ovvero allo zero.
$$ 1+1+1+1=4 \equiv 0 \mod 4 $$
Nota. Anche in questo caso l'elemento neutro $ 0 $ ha ordine $ 1 $ perché è l'elemento neutro del gruppo.
Osservazioni
Alcune osservazioni aggiuntive sull'ordine di un elemento del gruppo.
- Se un elemento g del gruppo G ha un ordine/periodo infinito, allora dati due numeri interi s e t distinti, deduco che gli elementi gs ≠ gt sono diversi. Quindi, il sottogruppo ciclico <g> generato dall'elemento g è infinito <1>={0,1,2,3,4,5,6,...}.
Esempio. Nel gruppo additivo (Z,+) considero l'elemento g=1. Se prendo due interi diversi s=2 e t=3, è evidente che il risultato delle due potenze è diverso 12=1+1=2 mentre 13=1+1+1=3. Ricordo che potenza di un elemento del gruppo si intende ripetere più volte l'operazione del gruppo che, in questo caso, è l'addizione, su uno stesso elemento del gruppo.
- Se un elemento g ha un periodo finito n, allora genera un sottogruppo ciclico finito <g> di cardinalità n. $$ <g> = \{ g^0, g^1, ..., g^{n-1} \} $$ Dove g0 è l'elemento neutro del gruppo g0=e. In questo caso, dati due numeri s e t diversi, due elementi gs=gt sono uguali se e solo se s≡t (mod n).
Esempio. Nel gruppo (Z5,+) dei numeri interi rispetto all'addizione modulo 5, prendo come esempio l'elemento g=1. La potenza g3=3 e la potenza g8=3 giungono allo stesso risultato, perché sia s=3 che t=8 diviso 5 hanno come resto 3. In questo caso il sottogruppo ciclico <1>={0,1,2,3,4} è finito.
E così via.
