Centro di un gruppo

Il centro di un gruppo $ (G,*) $ è un sottoinsieme Z(G) che contiene tutti gli elementi $ z \in G $ che soddisfano la proprietà commutativa $ g*z=z*g $ rispetto all'operazione del gruppo con ogni altro elemento $ g \in G $ del gruppo. $$ Z(G) = \{ z \in G \ | | z*g=g*z \ \ \forall \ g \in G \} $$

A sua volta il centro, se esiste, è sempre un sottogruppo perché soddisfa tutte le proprietà dei gruppo.

Inoltre, si tratta di un sottogruppo abeliano, perché soddisfa anche la proprietà commutativa.

Nota. Nei gruppi abeliani il centro del gruppo coincide con il gruppo stesso. Ad esempio, il centro del gruppo additivo (Z,+) dei numeri interi rispetto all'addizione è lo stesso gruppo Z(G)=(Z,+).

Un esempio pratico

Considero il gruppo G delle permutazioni * di tre oggetti {1,2,3}.

Nel gruppo $ (G,*) $ ci sono 6 possibili permutazioni.

e=() - l'identità
(12) - scambia 1 e 2
(13) - scambia 1 e 3
(23) - scambia 2 e 3
(123) - permuta 1 a 2, 2 a 3, 3 a 1
(132) - permuta 1 a 3, 3 a 2, 2 a 1

Devo identificare quali permutazioni commutano con tutte le altre in una composizione.

In questo caso l'ordine delle permutazioni influenza il risultato finale.

Ad esempio, componendo (12) e (23) si ottiene la permutazione (132)

$$ (12)*(23)=(132) $$

Se, invece, compongo (23) e (12) ottengo la permutazione (123)

$$ (23)*(12)=(123) $$

Spiegazione. In questo caso, partendo dalla configurazione iniziale 123, la prima permutazione (12) scambia il posto agli elementi in prima e in seconda posizione ottenendo il risultato intermedio 213. Poi la seconda permutazione (23) scambia il posto agli elementi in seconda e in terza posizione nel riisultato intermedio, ottenendo il risultato finale 231. Quindi, nella notazione ciclica, la composizione (23)*(12) equivale alla premutazione (123) che permuta 1 a 2, 2 a 3 e 3 a 1. .

Quindi il risultato finale è diverso.

$$ (12)*(23) \ne (23) * (12) $$

Da questo deduco che le permutazioni (12) e (23) non commutano con le altre premutazioni del gruppo.

A questo punto costruisco la tabella di tutte le composizioni possibili per analizzare tutte le altre.

	e	(12)	(13)	(23)	(123)	(132)
e	e	(12)	(13)	(23)	(123)	(132)
(12)	(12)	e	(123)	(132)	(13)	(23)
(13)	(13)	(132)	e	(123)	(23)	(12)
(23)	(23)	(123)	(132)	e	(12)	(13)
(123)	(123)	(23)	(12)	(13)	(132)	e
(132)	(132)	(13)	(23)	(12)	e	(123)

Questa rappresentazione mostra come ogni coppia di permutazioni si combina per formare un'altra permutazione all'interno del gruppo. 

• La prima riga e la prima colonna rappresentano la composizione con l'elemento identità \(e\), che non cambia l'altra permutazione.
• Ogni altra cella della tabella mostra il risultato della composizione di due permutazioni.

  Per esempio, la composizione di \((12)\) e \((13)\) produce \((123)\), indicato all'intersezione della riga \((12)\) e della colonna \((13)\).

In conclusione, l'unico elemento di G​ che commuta con tutti gli altri elementi del gruppo, basandomi sulla tabella di composizione, è l'elemento identità $ e $.

Pertanto, il centro del gruppo G è:

$$ Z(G)=\{ e \} $$

Questo significa che il centro di G​ consiste solo nella permutazione identità.

Nota. Nei gruppi non abeliani (non commutativi), come in questo esempio​, il centro può essere molto limitato, riducendosi all'elemento neutro del gruppo.

Esempio 2

In questo esempio considero il gruppo additivo \( (\mathbb{Z}, +) \) che rappresenta gli interi sotto l'operazione di addizione.

L'operazione di addizione tra interi è commutativa, ovvero \(a + b = b + a\) per qualsiasi coppia di interi \(a\) e \(b\).

Questo significa che ogni elemento di \( \mathbb{Z} \) commuta con ogni altro elemento.

Di conseguenza, il centro di \( (\mathbb{Z}, +) \) è l'intero gruppo \( \mathbb{Z} \) stesso, poiché ogni elemento soddisfa la condizione di commutatività richiesta per appartenere al centro.

$$ Z(\mathbb{Z}, +) = \mathbb{Z} $$

In generale, ogni gruppo abeliano (commutativo) ha il centro del gruppo che coincide con il gruppo stesso.

Il centro del gruppo è un sottogruppo

Dato un gruppo $ ( G, * ) $ il centro del gruppo $ Z(G) $ è sempre un sottogruppo del gruppo G.

Questo teorema deriva dalle proprietà stesse del centro del gruppo.

La dimostrazione

Verifico se le proprietà dei sottogruppi sono soddisfatte. Dando per scontata la proprietà associativa, perché è già soddisfatta implicitamente da tutti gli elementi del gruppo.

• Elemento neutro
  L'elemento neutro $ e = \{ \ \} $ non modifica la posizione degli elementi. Quindi, è sempre presente nel centro Z(G) e per definizione commuta con tutti gli elementi del gruppo. $$  e*g = g*e \ \ \ \forall \ g \ \in G $$
• Chiusura rispetto all'operazione del gruppo
  Due elementi qualsiasi \(a\) e \(b\) nel centro del gruppo \(Z(G)\) per definizione soddisfano la proprietà commutativa, quindi per ogni elemento $  g \in G $ vale $ a*g = g*a $ e $ bg = gb $. Devo dimostrare che anche il prodotto \(ab\) commuta con ogni altro elemento del gruppo \(g\) in \(G\), ovvero che \(g(ab) = (ab)g\). Per la proprietà associativa posso scrivere $$ g(ab) = (ga)b $$  Sapendo che che \(a\) e \(b\) commutano con \(g\) $$ g(ab) = (ga)b = (ag)b  $$ Applico nuovamente la proprietà associativa $$ g(ab) = (ga)b = (ag)b = a(gb) $$ Poiché $ b \in Z(G) $ commuta con $ g $ $$ g(ab) = (ga)b = (ag)b = a(gb)  =  a(bg) $$ Infine, applicando ancora la proprietà associativa ottengo $$ g(ab) = (ga)b = (ag)b = a(gb)  =  a(bg)   = (ab)g $$ Quindi anche il prodotto $ ab $ appartiene al centro del gruppo $ Z(G) $ perché soddisfa la proprietà commutativa. $$ g(ab) = (ab)g $$ Questo dimostra che \(Z(G)\) è chiuso rispetto all'operazione di gruppo.
• Elemento inverso di ogni elemento
  L'ultima proprietà da verificare è l'esistenza di un elemento inverso per ogni elemento presente nel centro del gruppo $ Z(G) $. Se l'elemento  \(a\) è in \(Z(G)\), allora \(a\) commuta con ogni elemento del gruppo \(g\) in \(G\), ovvero: $$ ag = ga $$ Devo mostrare che anche il suo elemento inverso \(a^{-1}\) appartiene al centro del gruppo \(Z(G)\), il che significa che \(a^{-1}\) deve commutare con ogni \(g \in G\).
  
  Moltiplico entrambi i membri per $ a^{-1} $ a sinistra. $$ a^{-1} ag = a^{-1} ga $$  Sapendo che $ a^{-1}a=e $ dove $ e $ è l'elemento neutro $$ eg = a^{-1} ga $$  Poiché $ eg=g $ $$ g = a^{-1} ga $$  Ora moltiplico entrambi i membri per $ a^{-1} $ ma questa volta a destra. $$ g a^{-1} = a^{-1} gaa^{-1} $$ Sapendo che $ aa^{-1} = e $  $$ g a^{-1} = a^{-1} ge $$ Infine, poiché $ ge = g $ ottengo $$ g a^{-1} = a^{-1} g $$ Questo dimostra che anche l'elemento inverso $ a^{-1} $ commuta con ogni elemento del gruppo. Quindi l'elemento inverso appartiene al centro $ a^{-1} \in Z(G) $.

In conclusione, il centro del gruppo soddisfa tutte le proprietà dei gruppi, pertanto $ Z(G) $ è un sottogruppo di $ G $.

E così via.