La potenza di un elemento in un gruppo

La potenza di un elemento $ g \in G $ in un gruppo (G,*) è la ripetizione dell'operazione * su un elemento per tante volte quanto vale l'esponente n. $$ g^n = \underbrace{g*g*...*g}_{n \ volte} $$

Quindi, nella teoria dei gruppi, quando si parla di potenza bisogna considerare l'operazione * definita nel gruppo.

A seconda dell'operazione del gruppo, il risultato finale può essere molto diverso.

• Gruppi additivi
  Se ho un gruppo additivo (G,+) l'operazione del gruppo è l'addizione. Quindi, la potenza dell'elemento g alla terza equivale a sommare tre volte g. $$ g^3 = g+g+g = 3g $$  Ad esempio, nel gruppo (Z,+) dei numeri interi con l'operazione di addizione: $$ 2^3=2+2+2=6 $$ 
• Gruppi moltiplicativi
  In un gruppo  moltiplicativo (G,·) l'operazione del gruppo è la moltiplicazione. Quindi, la potenza dell'elemento g alla terza equivale a moltiplicare tre volte g per se stesso. $$ g^3 = g \cdot g \cdot g $$ Ad esempio, nel gruppo (Z,*) dei numeri interi con l'operazione della moltiplizazione: $$ 2^3=2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

Quindi, il risultato finale dipende dall'operazione del gruppo.

Nota. Per semplicità ho considerato il caso dei gruppi moltiplicativi e additivi. Lo stesso discorso vale per qualsiasi altro gruppo nei confronti di operazioni diverse dall'addizione e dalla moltiplicazione.

Quando l'esponente della potenza è zero, il risultato è sempre l'elemento neutro del gruppo.

Ad esempio, in un gruppo additivo (G,+), la potenza di un elemento elevato a zero è sempre uguale all'elemento neutro di (G,+) che, in questo caso, è lo zero.

$$ g^0 = 0 $$

Esempio. Nel gruppo (Z,+) dei numeri interi con l'operazione di addizione, il numero due elevato a zero è uguale zero $$ 2^0=0 $$ Lo stesso vale per qualsiasi altro elemento del gruppo.

Viceversa, nel gruppo moltiplicativo (Z,·) la potenza di un elemento qualsiasi elevato a zero è sempre uguale a 1, poiché 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione.

$$ g^0 = 1 $$

Esempio. Nel gruppo (Z,·) dei numeri interi con l'operazione della moltiplicazione, il numero 2 elevato a zero è uguale a 1, perché 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione: $$ 2^0=1 $$ Lo stesso vale per qualsiasi altro elemento del gruppo elevato a zero.

Come calcolare la potenza se l'esponente è negativo?

Se l'esponente è negativo, devo ripetere n volte l'operazione del gruppo (*) sull'elemento inverso.

$$ g^{n} = \underbrace{g^{-1}*g^{-1}*...*g^{-1}}_{n \ volte} \ \ \ con \ \ n<0 $$

Ad esempio, nel gruppo additivo (Z,+) la potenza 2^-3 equivale a sommare tre volte l'elemento inverso di 2 rispetto all'addizione che in questo caso è il suo numero opposto -2. $$ 2^{-3} = (-2)+(-2)+(-2)=-6 $$ Viceversa, nel gruppo moltiplicativo (Q,·) dei numeri razionali con l'operazione della moltiplicazione, la potenza 2^-3 equivale a moltiplicare per tre volte l'elemento inverso di 2 rispetto alla moltiplicazione, ossia 1/2. $$ 2^{-3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$

Le operazioni tra le potenze

Per il resto, nella teoria dei gruppi valgono le stesse operazioni algebriche delle potenze.

La moltiplicazione di due potenze con la stessa base equivale a una potenza della stessa base con esponente pari alla somma degli esponenti.

$$ a^n * a^m = a^{n+m} $$

Ad esempio, nel gruppo additivo (Z,+) l'operazione 2³+2² equivale alla potenza 2⁵ $$ 2^3+2^2=2^{3+2}=2^5 = 2 + 2 + 2 +2 +2 = 10 $$

Elevare una potenza con un'altra potenza si traduce nella moltiplicazione dei rispettivi esponenti.

$$ (a^n)^m = a^{n \cdot m} $$

Ad esempio, nel gruppo additivo (Z,+) l'operazione (2³)² equivale alla potenza 2⁶ $$ (2^3)^2=2^{3 \cdo2}=2^6 = 2 + 2 + 2 +2 +2 +2= 12 $$

E' opportuno tenere sempre a mente che le potenze di un elemento del gruppo devono essere calcolate utilizzando l'operazione del gruppo.

E così via.