Sottogruppo ciclico
Un sottogruppo ciclico di un gruppo (G,*) è un sottogruppo generato da un singolo elemento g∈G. $$ \langle g \rangle = \{g^n | n \in \mathbb{Z}\} $$ L'elemento g è detto generatore del sottogruppo ciclico.
Questo significa che, data un'operazione di gruppo (*) e un elemento g di G, il sottogruppo ciclico <g> generato da g consiste in tutti gli elementi che possono essere espressi come gn per qualche intero n.
Generalmente la notazione usata per indicare il sottogruppo ciclico generato da g è <g>.
$$ \langle g \rangle = \{g^n | n \in \mathbb{Z}\} $$
Dove gn è il prodotto dell'elemento g con se stesso per n volte, utilizzando l'operazione * del gruppo, mentre n è un numero intero qualsiasi.
Nota. Se n<0 è negativo devo moltiplicare per |n| volte l'elemento inverso di gn rispetto all'operazione del gruppo. Se invece n=0 allora g0=e è uguale all'elemento neutro (e) del gruppo (G,*). Per un approfondimento sul calcolo della potenza di un elemento in un gruppo.
Un sottogruppo ciclico può essere finito o infinito.
- Sottogruppo finito
È finito se esiste un intero positivo minimo n tale che gn è l'elemento neutro (e) del gruppo, ovvero gn=e. In questo caso n è detto l'ordine di g e anche l'ordine del sottogruppo ciclico <g>. - Sottogruppo infinito
E' infinito se non esiste un intero positivo minimo n tale che gn è l'elemento neutro del gruppo. In tal caso, l'ordine di g e del sottogruppo <g> è infinito.
Un esempio pratico
In questo esempio considero il gruppo additivo (Z,+), dove Z è l'insieme di tutti i numeri interi e l'operazione di gruppo è l'addizione (+).
$$ (G,+) $$
Prendo come elemento generatore del sottogruppo g=3.
Il sottogruppo ciclico generato da 3 è indicato come <3> e consiste in tutti i multipli interi di 3
$$ \langle 3 \rangle = \{ \ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, \ldots \} $$
In questo contesto "moltiplicare" il numero g=3 per un intero n equivale a sommare 3 a se stesso n volte.
L'elemento 3 è l'elemento generatore del sottogruppo ciclico <3> nell'insieme dei numeri interi Z.
Quindi, ogni elemento del sottogruppo <3> posso ottenerlo sommando o sottraendo 3 a se stesso un numero appropriato di volte.
Esempio. La potenza 34 rispetto all'addizione (+) equivale al multiplo di 3 per 4 volte.
$$ 3^4 = 3+3+3+3=12 $$
Bisogna ricordarsi che gn non è la potenza numerica ma la notazione usata per ripetere n volte l'operazione del gruppo, che è in questo caso è l'addizione (+), sull'elemento g=3.
Quando l'esponente è negativo, invece, devo sommare l'elemento inverso di g=3 rispetto all'addizione, ovvero g-1=-3
$$ 3^{-4} = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12 $$
Infine, se l'esponente è zero, il risultato è semplicemente l'elemento neutro dell'operazione del gruppo. Essendo l'addizione, l'elemento neutro è lo zero.
$$ 3^0 = 0 $$
Questo mostra che <3> contiene tutti e soli i multipli di 3 nell'insieme dei numeri interi, e quindi è un sottogruppo di (Z,+).
$$ <3> = \{ 3Z \} ⊂ \{ Z \} $$
Si tratta di un sottogruppo ciclico infinito, poiché ci sono infiniti multipli sia positivi che negativi di 3.
E così via.
