Teorema della trasformata di Fourier dei segnali né reali e dispari
La trasformata di Fourier di un segnale \( x(t) \) generico senza simmetria, che non è né pari né dispari, è una funzione complessa \( X(f) \) contenente sia una parte reale che una parte immaginaria. $$ X(f) = X_R(f) + i \cdot X_I(f) $$
Quando il segnale \( x(t) \) non ha proprietà particolari (come essere pari o dispari), la sua trasformata \( X(f) \) può assumere qualsiasi forma.
La forma generale della trasformata di Fourier di un segnale generico è data da:
$$ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i 2 \pi f t} \, dt $$
Secondo le formule di Eulero un esponenziale complesso può essere scritto in forma trigonometrica $$ e^{ i \alpha } = \cos( \alpha ) + i \cdot \sin( \alpha ) $$ $$ e^{-i\alpha } = \cos( \alpha) - i \cdot \sin(\alpha) $$
Pertanto, la trasformata di Fourier di un segnale reale generico posso anche scriverla in questa forma:
$$ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot \left[ \cos(2 \pi f t) - i \cdot \sin(2 \pi f t) \right] \, dt $$
$$ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cos(2 \pi f t) - i \cdot x(t) \sin(2 \pi f t) \, dt $$
$$ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cos(2 \pi f t) \, dt - i \cdot \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \sin(2 \pi f t) \, dt $$
Quindi, la trasformata complessa \( X(f) \) può essere scritta scomposta in una parte reale e una parte immaginaria:
$$ X(f) = X_R(f) + i \cdot X_I(f) $$
Dove \( X_R(f) \) è la parte reale data da:
$$ X_R(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cos(2 \pi f t) \, dt $$
Mentre \( X_I(f) \) è la parte immaginaria, data da:
$$ X_I(f) = -\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \sin(2 \pi f t) \, dt $$
Questa funzione complessa rappresenta sia l'ampiezza che la fase delle diverse componenti di frequenza del segnale originale \( x(t) \).
In questo caso generale, l'ampiezza della trasformata di Fourier è data dal modulo:
$$ |X(f)| = \sqrt{X_R(f)^2 + X_I(f)^2} $$
La fase è invece data dall'argomento della funzione complessa:
$$ \arg(X(f)) = \arctan\left(\frac{X_I(f)}{X_R(f)}\right) $$
Un esempio pratico
Ecco un esempio semplice per illustrare la trasformata di Fourier di un segnale che non è né reale né dispari.
Considero il segnale:
$$ x(t) = e^{i 2 \pi f_0 t} $$
Questo segnale è complesso perché ha una parte immaginaria e non è né reale né dispari.
La trasformata di Fourier del segnale \( x(t) \) è:
$$ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi f_0 t} e^{-i 2 \pi f t} \, dt $$
$$ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt $$
Questo è un integrale della forma:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi (f_0 - f) t} \, dt $$
Questa è la definizione della trasformata di Fourier di un impulso. L'integrale è diverso da zero solo quando \( f = f_0 \).
Formalmente, il risultato di questo integrale è una delta di Dirac:
$$ X(f) = \delta(f - f_0) $$
Il risultato della trasformata di Fourier, \( X(f) = \delta(f - f_0) \), è una funzione complessa.
Nota. In questo caso, l'ampiezza è associata alla delta di Dirac in \( f = f_0 \) e rappresenta la presenza di una componente di frequenza specifica nel segnale.
Questo esempio mostra come la trasformata di Fourier di un segnale complesso che non è né reale né dispari possa risultare in una funzione che contiene una componente complessa.
E così via.
