Teorema della modulazione in frequenza
Moltiplicare un segnale \( x(t) \) nel dominio del tempo per un esponenziale complesso, come \( e^{-j 2 \pi f_0 t} \) o \( e^{j 2 \pi f_0 t} \) causa una traslazione del suo spettro nel dominio della frequenza. La direzione della traslazione dipende dal segno dell'esponenziale:
- Moltiplicare \( x(t) \) per \( e^{-j 2 \pi f_0 t} \) sposta lo spettro di \( x(t) \) verso le basse frequenze, centrando lo spettro risultante su \( -f_0 \). $$ x(t) \cdot e^{-j2 \pi f_0 t} \stackrel{F}{ \Longrightarrow } X(f+f_0) $$
- Se il segnale è moltiplicato per \( e^{j 2 \pi f_0 t} \), lo spettro viene spostato verso le alte frequenze, centrato su \( +f_0 \). $$ x(t) \cdot e^{j2 \pi f_0 t} \stackrel{F}{ \Longrightarrow } X(f-f_0) $$
Questa proprietà è fondamentale nell'analisi dei segnali, soprattutto nelle telecomunicazioni, poiché consente di modulare i segnali spostandoli alle frequenze portanti desiderate, permettendo così la trasmissione del segnale attraverso vari canali di comunicazione.
Caso del segnale moltiplicato per \( e^{-j 2 \pi f_0 t} \)
Considero un segnale \( x(t) \) nel tempo e lo moltiplico per un esponenziale complesso di segno negativo.
$$ y(t) = x(t) \cdot e^{-j 2 \pi f_0 t} $$
A questo punto calcolo la trasformata di Fourier di \( y(t) \)
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} y(t) \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt $$
Sapendo che $ y(t) = x(t) \cdot e^{-j 2 \pi f_0 t} $
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} ( x(t) \cdot e^{-j 2 \pi f_0 t} ) \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt $$
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j 2 \pi f_0 t} \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt $$
Combino i termini esponenziali e ottengo:
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j 2 \pi (f + f_0) t} \, dt $$
Questo integrale ha la stessa forma della trasformata di Fourier $ X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt $ , con la variabile \( f \) sostituita da \( f + f_0 \). Pertanto, posso scrivere:
$$ Y(f) = X(f + f_0) $$
Questo significa che lo spettro del segnale originale \( X(f) \) è traslato verso le basse frequenze di un ammontare pari a \( f_0 \).
In altre parole, il segnale \( x(t) \) moltiplicato per \( e^{-j 2 \pi f_0 t} \) ha il suo spettro centrato su \( -f_0 \) invece che su zero.
Nota. Lo spettro è centrato nel valore di $ f $ che annulla l'argomento $ f+f_0 = 0 $. In questo caso, il valore centrale è $ f = -f_0 $.
Caso del segnale moltiplicato per \( e^{j 2 \pi f_0 t} \)
Considero un segnale \( x(t) \) nel tempo e lo moltiplico per un esponenziale complesso di segno positivo.
$$ y(t) = x(t) \cdot e^{j 2 \pi f_0 t} $$
Poi calcolo la trasformata di Fourier del segnale $ y(t) $
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} y(t) \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt $$
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} ( x(t) \cdot e^{j 2 \pi f_0 t} ) \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt $$
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{j 2 \pi f_0 t} \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt $$
Combino i termini esponenziali.
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{(j 2 \pi f_0 t) + ( -j 2 \pi f t)} \, dt $$
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{j 2 \pi (f_0-f) t} \, dt $$
Faccio uscire il segno negativo (-1) dall'espressione (f0-f)
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{j 2 \pi [(-1) \cdot (f-f_0) ] t} \, dt $$
$$ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j 2 \pi (f - f_0) t} \, dt $$
In questo modo ottengo la forma tipica di una trasformata di Fourier $ X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt $ , con la variabile \( f \) sostituita da \( f - f_0 \). Quindi, posso scrivere:
$$ Y(f) = X(f - f_0) $$
Questa operazione trasla lo spettro del segnale verso le alte frequenze di una quantità \( f_0 \), centrando il nuovo spettro su \( +f_0 \).
Nota. Lo spettro è centrato nel valore di $ f $ che annulla l'argomento $ f-f_0 = 0 $. In questo caso, il valore è $ f = f_0 $.
Differenza rispetto alla traslazione nel tempo
La proprietà della modulazione è diversa dalla traslazione nel dominio del tempo.
- Traslazione nel tempo
Quando un segnale subisce un ritardo o un anticipo nel tempo (ad esempio, \( x(t - \tau) \)), la trasformata di Fourier è moltiplicata per un esponenziale complesso del tipo \( e^{-j 2 \pi f \tau} \) o \( e^{j 2 \pi f \tau} \). In questo caso, lo spettro mantiene il suo centro in frequenza, ma introduce una rotazione di fase. $$ x(t - \tau) \stackrel{F}{ \Longrightarrow } X(f) \cdot e^{-j2 \pi f_0 t} $$$$ x(t + \tau) \stackrel{F}{ \Longrightarrow } X(f) \cdot e^{j2 \pi f_0 t} $$ - Modulazione in frequenza
La moltiplicazione di un segnale $ x(t) $ nel tempo con un esponenziale complesso \( e^{\pm j 2 \pi f_0 t} \) agisce direttamente sullo spostamento delle frequenze, traslando l'intero spettro, senza comportare nessuna traslazione nel tempo. $$ x(t) \cdot e^{-j2 \pi f_0 t} \stackrel{F}{ \Longrightarrow } X(f+f_0) $$ $$ x(t) \cdot e^{j2 \pi f_0 t} \stackrel{F}{ \Longrightarrow } X(f-f_0) $$
Nota. La differenza nei segni tra i due tipi di trasformazione è una caratteristica utile da ricordare. Nel caso della traslazione nel tempo il segno nell'argomento (es. $ x+\tau $ ) è lo stesso dell'esponenziale complesso. Nel caso della modulazione in frequenza, invece, il segno dell'argomento (es. $ f+f_0 $ ) è opposto a quello dell'esponenziale complesso. Questa differenza è un trucco utile per ricordare le formule ed evitare di confondersi.
È importante notare che i segni si scambiano rispetto alla traslazione temporale: un esponenziale negativo nel tempo comporta uno spostamento positivo in frequenza e viceversa.
Ad esempio, quando il segnale $ x(t) $ viene moltiplicato da un esponenziale complesso con segno negativo nel tempo (\( e^{-j 2 \pi f_0 t} \)), lo spettro si trasla verso le basse frequenze (\( f + f_0 \)).
Al contrario, un esponenziale con segno positivo nel tempo (\( e^{j 2 \pi f_0 t} \)) sposta lo spettro verso le alte frequenze (\( f - f_0 \)).
E così via.
