Proprietà invariantiva della divisione

Cosa afferma la proprietà invariantiva delle divisioni

Se in una divisione moltiplico o divido il dividendo e il divisore per uno stesso numero k≠0 diverso da zero ottengo lo stesso quoziente. $$ a:b = (a \cdot k):(b \cdot k) $$ $$ a:b = (a : k):(b : k) $$

Per maggiore chiarezza riscrivo l'operazione usando le frazioni

$$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot k }{b \cdot k} = \frac{ \frac{a}{k} }{ \frac{a}{k} }$$

Il significato è sempre lo stesso.

Nota. La proprietà invariantiva in matematica si applica anche alla sottrazione e alle equazioni o disequazioni. La proprietà invariantiva non si applica mai all'addizione, né alla moltiplicazione.

Un esempio pratico

Il quoziente della divisione tra 30 e 5 è uguale a 6

$$ 30:5 = 6 $$

Moltiplico per 2 sia il dividendo (30) che il divisore (5)

$$ (30 \cdot 2):(5 \cdot 2) = $$

Il risultato è un'altra divisione che ha lo stesso quoziente

$$ 60:10 = 6 $$

Esempio 2

Il quoziente della divisione tra 45 e 15 è uguale a 3

$$ 45:15 = 3 $$

Se divido per 5 sia il dividendo (45) che il divisore (15) ottengo lo stesso quoziente

$$ (45 : 3):(15 : 3) = $$

$$ 15:5 = 3 $$

Nota. La proprietà invariantiva si applica solo alla divisione. Non si applica alla moltiplicazione. Ad esempio, considero il prodotto 4·6. Se moltiplico o divido per due entrambi i fattori. Il risultato finale della moltiplicazione è diverso $$ 4 \cdot 6 \ne (4 \cdot 2) \cdot (6 \cdot 2) \ne (4 :2) \cdot (6 :2) $$ $$ 24 \ne 8 \cdot 12 \ne 3 \cdot 2 $$ $$ 24 \ne 96 \ne 6 $$