Esercizio calcolo integrale 40

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{x-1}{x^2+3x} \ dx $$

La funzione integranda è una funzione razionale e il polinomio al numeratore è di grado inferiore al polinomio al denominatore. Quindi, non posso dividere tra loro i polinomi.

Metto in evidenza la x al denominatore per ottenere al denominatore il prodotto tra due polinomi.

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx $$

Per risolvere questo integrale utilizzo la scomposizione in fratti semplici.

In questo caso, la molteplicità delle radici è uguale a uno.

Scompongo il rapporto dei polinomi in una somma di fratti semplici dove A e B sono costanti che ancora devo trovare.

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3} \ dx $$

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \frac{A \cdot (x+3) + B \cdot x}{x \cdot (x+3)} $$

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \frac{Ax+3A + Bx}{x \cdot (x+3)} $$

Metto in evidenza l'incognita x

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \frac{x \cdot (A+B) +3A}{x \cdot (x+3)} $$

I due membri dell'equazione hanno lo stesso denominatore x(x+3)

Quindi, posso confrontare i termini al numeratore e dedurre che x=x(A+B) e -1=3A

Questo mi consente di trovare i valori delle costanti A e B tramite un sistema di due equazioni.

$$ \begin{cases} x = x \cdot (A+B) \\ \\ -1 = 3A \end{cases} $$

Per la proprietà invariantiva divido per x entrambi i membri della prima equazione.

$$ \begin{cases} \frac{x}{x} = \frac{x \cdot (A+B)}{x} \\ \\ -1 = 3A \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 1 = A+B \\ \\ -1 = 3A \end{cases} $$

Poi risolvo il sistema tramite la il metodo per sostituzione

$$ \begin{cases} 1 = A+B \\ \\ A = -\frac{1}{3} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 1 = - \frac{1}{3} + B \\ \\ A = -\frac{1}{3} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} B = 1 + \frac{1}{3} \\ \\ A = -\frac{1}{3} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} B = \frac{4}{3} \\ \\ A = -\frac{1}{3} \end{cases} $$

Ho trovato i valori delle costanti A=-1/3 e B=4/3

Sostituisco i valori appena trovati nell'integrale della somma

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3} \ dx $$

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \frac{- \frac{1}{3}}{x} + \frac{\frac{4}{3}}{x+3} \ dx $$

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int -\frac{1}{3x} + \frac{4}{3(x+3)} \ dx $$

Per la proprietà lineare degli integrali, l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int -\frac{1}{3x} \ dx + \int \frac{4}{3(x+3)} \ dx $$

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} \ dx + \frac{4}{3} \int \frac{1}{x+3} \ dx $$

Gli integrali a destra sono facilmente risolvibili

L'integrale di ∫1/x = log|x|+c

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = - \frac{1}{3} \cdot \log|x|+c + \frac{4}{3} \cdot \int \frac{1}{x+3} \ dx $$

L'integrale di ∫1/(x+3) = log|x+3|+c

$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = - \frac{1}{3} \cdot \log|x|+ \frac{4}{3} \cdot \log |x+3| + c $$

Ho così risolto l'integrale a sinistra.

E così via.