Proprietà invariantiva
La proprietà invariantiva riguarda le operazioni matematiche il cui risultato non cambia modificando i loro termini.
Esistono diverse applicazioni della proprietà invariantiva
Si applica alla sottrazione, alla divisione e alle equazioni.
Nota. La proprietà invariantiva non si applica all'addizione, né alla moltiplicazione.
La proprietà invariantiva della sottrazione
Se in una sottrazione aggiungo o tolgo lo stesso numero sia dal minuendo che dal sottraendo, la differenza non cambia. $$ a-b = (a+c)-(b+c) = (a-c)-(b-c) $$
Esempio
La differenza tra 22 e 10 è 12
$$ 22 - 10 = 12 $$
Se aggiungo +5 sia al minuendo (22+5) che al sottraendo (10+5) ottengo lo stesso risultato
$$ (22+5) - (10+5) = $$
$$ 27 - 15 = 12 $$
Nota. La proprietà invariantiva non vale per l'addizione $$ 22+10 \ne (22+5)+(105) \ne (22-5)+(10-5) $$ $$ 32 \ne 27+15 \ne 17+5 $$ $$ 32 \ne 42 \ne 22 $$
Esempio 2
$$ 22 - 10 = 12 $$
Se sottraggo 30 sia al minuendo (22-30) che al sottraendo (10-30) ottengo lo stesso risultato
$$ (22-30) - (10-30) = $$
$$ -8 - (-20) = $$
$$ -8 + 20 = 12 $$
La proprietà invariantiva della divisione
Se in una divisione moltiplico o divido sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero (c≠0) il quoziente non cambia. $$ a:b = (a \cdot c):(b \cdot c) = (a : c):(b : c) $$
Esempio
Il quoziente tra 20 e 10 è uguale a 2
$$ 20:10 = 2 $$
Se moltiplico per 3 sia il dividendo (20) che il divisore (10) ottengo lo stesso quoziente
$$ (20 \cdot 3):(10 \cdot 3) = $$
$$ 60:30 = 2 $$
Esempio 2
$$ 20:10 = 2 $$
Se divido per 5 sia il dividendo (20) che il divisore (10) ottengo lo stesso quoziente
$$ (20 : 5):(10 : 5) = $$
$$ 4:2 = 2 $$
Nota. La proprietà invariantiva non vale per la moltiplicazione $$ 20 \cdot 5 \ne (20 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) \ne (20 : 5) \cdot (5 :5) $$ $$ 100 \ne 100 \cdot 25 \ne 4 \cdot 1 $$ $$ 100 \ne 2500 \ne 4 $$
La proprietà invariantiva delle frazioni
Se in una frazione moltiplico o divido sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero diverso da zero (c≠0) ottengo una frazione equivalente. Quindi, il quoziente non cambia. $$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{ac}{bc} $$
Esempio
Considero la frazione 4/5
$$ \frac{4}{5} $$
Se moltiplico per 3 sia il numeratore (4) che il denominatore (5) ottengo una frazione equivalente alla precedente
$$ \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} $$
$$ \frac{12}{15} $$
Le due frazioni sono equivalenti
$$ \frac{4}{5} = \frac{12}{15} $$
Nota. Per verificarlo calcolo il prodotto in croce delle due frazioni $$ 4 \cdot 15 = 5 \cdot 12 $$ $$ 60 = 60 $$ L'identità è confermata. Quindi, le due frazioni sono due frazioni equivalenti.
La proprietà invariantiva delle equazioni
Se in un'equazione applico la stessa operazione sia al membro di sinistra che al membro di destra, l'equazione non cambia.
Esempio
Questa equazione è soddisfatta per x=3 perché 3+7=10
$$ x + 7 = 10 $$
Sottraggo 7 sia al membro di sinistra che al membro di destra
$$ x + 7 - 7 = 10 - 7 $$
$$ x = 3 $$
Il risultato è lo stesso.
E così via.
