ProprietÓ invariantiva

La proprietà invariantiva riguarda le operazioni matematiche il cui risultato non cambia modificando i loro termini.

Esistono diverse applicazioni della proprietà invariantiva

Si applica alla sottrazione, alla divisione e alle equazioni.

Nota. La proprietà invariantiva non si applica all'addizione, né alla moltiplicazione.

La proprietà invariantiva della sottrazione

Se in una sottrazione si aggiunge o si toglie lo stesso numero sia dal minuendo che dal sottraendo, la differenza non cambia. $$ a-b = (a+c)-(b+c) = (a-c)-(b-c) $$

Esempio

La differenza tra 22 e 10 è 12

$$ 22 - 10 = 12 $$

Se aggiungo +5 sia al minuendo (22+5) che al sottraendo (10+5) ottengo lo stesso risultato

$$ (22+5) - (10+5) = $$

$$ 27 - 15 = 12 $$

Nota. La proprietà invariantiva non vale per l'addizione $$ 22+10 \ne (22+5)+(105) \ne (22-5)+(10-5) $$ $$ 32 \ne 27+15 \ne 17+5 $$ $$ 32 \ne 42 \ne 22 $$

Esempio 2

$$ 22 - 10 = 12 $$

Se sottraggo 30 sia al minuendo (22-30) che al sottraendo (10-30) ottengo lo stesso risultato

$$ (22-30) - (10-30) = $$

$$ -8 - (-20) = $$

$$ -8 + 20 = 12 $$

La proprietà invariantiva della divisione

Se in una divisione si moltiplica o divide sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero (c≠0) il quoziente non cambia. $$ a:b = (a \cdot c):(b \cdot c) = (a : c):(b : c) $$

Esempio

Il quoziente tra 20 e 10 è uguale a 2

$$ 20:10 = 2 $$

Se moltiplico per 3 sia il dividendo (20) che il divisore (10) ottengo lo stesso quoziente

$$ (20 \cdot 3):(10 \cdot 3) = $$

$$ 60:30 = 2 $$

Esempio 2

$$ 20:10 = 2 $$

Se divido per 5 sia il dividendo (20) che il divisore (10) ottengo lo stesso quoziente

$$ (20 : 5):(10 : 5) = $$

$$ 4:2 = 2 $$

Nota. La proprietà invariantiva non vale per la moltiplicazione $$ 20 \cdot 5 \ne (20 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) \ne (20 : 5) \cdot (5 :5) $$ $$ 100 \ne 100 \cdot 25 \ne 4 \cdot 1 $$ $$ 100 \ne 2500 \ne 4 $$

La proprietà invariantiva delle equazioni

Se in un'equazione applico la stessa operazione sia al membro di sinistra che al membro di destra, l'equazione non cambia.

Esempio

Questa equazione è soddisfatta per x=3 perché 3+7=10

$$ x + 7 = 10 $$

Sottraggo 7 sia al membro di sinistra che al membro di destra

$$ x + 7 - 7 = 10 - 7 $$

$$ x = 3 $$

Il risultato è lo stesso.

E così via.

 


 

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