Esercizio teoria dei gruppi 7
Verificare se il gruppo simmetrico dell'insieme S={1,2,3,4} è un gruppo abeliano oppure no.
L'insieme S={1,2,3,4} è composto da n=4 elementi
$$ S = \{ 1,2,3,4 \} $$
Un gruppo simmetrico è un gruppo formato dall'insieme Sn delle permutazioni degli elementi dell'insieme S rispetto all'operazione di composizione.
L'insieme delle permutazioni S4 è composto da n!=24 elementi.
| σ | Permutazione | Notazione alternativa |
|---|---|---|
| σ1 | 1,2,3,4 | (1) |
| σ2 | 2,1,3,4 | (1,2) |
| σ3 | 3,2,1,4 | (1,3) |
| σ4 | 4,2,3,1 | (1,4) |
| σ5 | 1,3,2,4 | (2,3) |
| σ6 | 1,4,3,2 | (2,4) |
| σ7 | 1,2,4,3 | (3,4) |
| σ8 | 2,3,1,4 | (1,2,3) |
| σ9 | 3,1,2,4 | (1,3,2) |
| σ10 | 2,4,3,1 | (1,2,4) |
| σ11 | 4,1,3,2 | (1,4,2) |
| σ12 | 3,2,4,1 | (1,3,4) |
| σ13 | 4,2,1,3 | (1,4,3) |
| σ14 | 1,3,4,2 | (2,3,4) |
| σ15 | 1,4,2,3 | (2,4,3) |
| σ16 | 2,3,4,1 | (1,2,3,4) |
| σ17 | 2,4,1,3 | (1,2,4,3) |
| σ18 | 4,1,2,3 | (1,4,3,2) |
| σ19 | 3,1,4,2 | (1,3,4,2) |
| σ20 | 3,4,2,1 | (1,3,2,4) |
| σ21 | 4,3,1,2 | (1,4,2,3) |
| σ22 | 3,4,1,2 | (1,3)(2,4) |
| σ23 | 4,3,2,1 | (1,4)(2,3) |
| σ24 | 2,1,4,3 | (1,2)(3,4) |
Esempio 1. La permutazione σ8 = 2,3,1,4 può essere scritta anche in forma tabellare come $$ \sigma_8 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$ che equivale a dire $$ \sigma_8: S \rightarrow S \\ 1 \rightarrow 2 \\ 2 \rightarrow 3 \\ 3 \rightarrow 1 \\ 4 \rightarrow 4 $$ Essendoci un ciclo 1→2→3→1 e un'identità 4→4 posso scrivere la permutazione anche nella notazione alternativa come prodotto tra cicli disgiunti (senza elementi in comune) $$ ( 1,2,3) $$ che equivale a dire un ciclo 1→2→3→1 per un ciclo identità 4→4. Il ciclo identità non si scrive nella notazione perché è da ritenersi implicito.
Esempio 2. La permutazione σ22 = 3,4,1,2 posso scriverla anche in forma tabellare come $$ \sigma_8 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$ che equivale a dire $$ \sigma_{22}: S \rightarrow S \\ 1 \rightarrow 3 \\ 2 \rightarrow 4 \\ 3 \rightarrow 1 \\ 4 \rightarrow 2 $$ Essendoci due cicli disgiunti 1→3→1 e 2→4→2 posso scrivere la permutazione anche nella notazione alternativa come prodotto tra cicli disgiunti $$ ( 1,3)(2,4) $$
L'insieme delle permutazioni S4 forma un gruppo simmetrico (S4,o) rispetto all'operazione di composizione o.
$$ (S_4,\text{o}) $$
Dove l'operazione di composizione è la funzione composta fog=f(g) di due permutazioni.
Ad esempio, la composizione σ3 o σ5 = σ3(σ5)
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (3,2,1,4) \ \text{o} \ (1,3,2,4) $$
ossia
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
Nota. Nella notazione alternativa delle permutazioni come cicli disgiunti la composizione si scrive $$ \sigma_3 \text{o} \sigma_5 = (1,3) \ \text{o} \ (2,3) $$
Nella composizione fog=f(g) ho g=σ5=(1,3,2,4) e f=σ3=(3,2,1,4)
Quindi, devo prima svolgere la permutazione interna g e poi quella esterna f.
$$ 1 \rightarrow_g 1 \rightarrow_f 3 $$
$$ 2 \rightarrow_g 3 \rightarrow_f 1 $$
$$ 3 \rightarrow_g 2 \rightarrow_f 2 $$
$$ 4 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 4 $$
Il risultato della composizione è la permutazione (3,1,2,4)
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
ossia
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (3,2,1,4) \ \text{o} \ (1,3,2,4) = (3,1,2,4) $$
Nota. Nella notazione alternativa delle permutazioni come cicli disgiunti il risultato della composizione si scrive $$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (1,3) \ \text{o} \ (1,3,2) $$
Il risultato della composizione σ3 o σ5 è la permutazione (3,1,2,4) che a sua volta appartiene all'insieme Sn
$$ (3,1,2,4) = \sigma_9 \in S_n $$
Per dimostrare che (Sn,o) è un gruppo abeliano verifico se la proprietà commutativa è soddisfatta oppure no.
Ad esempio, calcolo la composizione σ5 o σ3 = σ5(σ3)
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = (1,3,2,4) \ \text{o} \ (3,2,1,4) $$
ossia
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
Nella composizione fog=f(g) ho g=σ3=(3,2,1,4) e f=σ5=(1,3,2,4)
Quindi, devo prima svolgere la permutazione interna g=σ3 e poi quella esterna f=σ5.
$$ 1 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 2 $$
$$ 2 \rightarrow_g 2 \rightarrow_f 3 $$
$$ 3 \rightarrow_g 1 \rightarrow_f 1 $$
$$ 4 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 4 $$
Il risultato della composizione è la permutazione (2,3,1,4)
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
ossia
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = (1,3,2,4) \ \text{o} \ (3,2,1,4) = (2,3,1,4) $$
Il risultato della composizione σ5 o σ3 è la permutazione (2,3,1,4) che a sua volta appartiene all'insieme Sn
$$ (2,3,1,4) = \sigma_8 \in S_n $$
Conclusione
Il risultato della composizione σ3 o σ5 è la permutazione (3,1,2,4)
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (3,2,1,4) \ \text{o} \ (1,3,2,4) = (3,1,2,4) $$
Il risultato della composizione σ5 o σ3 è la permutazione (2,3,1,4)
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = (1,3,2,4) \ \text{o} \ (3,2,1,4) = (2,3,1,4) $$
Essendo due risultati diversi, la composizione non soddisfa la proprietà commutativa
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 \ne \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 $$
In conclusione, il gruppo (S4,o) è un gruppo non abeliano perché non soddisfa la proprietà commutativa.
Nota. In generale tutti i gruppi simmetrici Sn di insiemi S con più di due elementi (n>2) sono gruppi non abeliani ossia gruppi non commutativi.
E così via.
