Gruppo non abeliano
Cos'è un gruppo non abeliano
Un gruppo non abeliano è un gruppo (S,*) in cui l'operazione * non soddisfa la proprietà commutativa.
E' anche detto gruppo non commutativo.
Prende il nome dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.
Un esempio pratico
L'insieme delle matrici invertibili reali di ordine due M2 forma un gruppo (M2, · ) rispetto all'operazione di moltiplicazione riga per colonna ( · )
$$ ( \ M_2 \ , \ \cdot \ ) \ \ \ \ dove \ \ M_2 = \text{matrici invertibili 2x2}$$
E' un gruppo moltiplicativo perché
- il prodotto di due matrici di ordine 2 è un'altra matrice di ordine 2 $$ \forall \ A,B \in M_2 \rightarrow AB \in M_2 $$
- il prodotto di due matrici soddisfa la proprietà associativa $$ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B ) \cdot C $$
- esiste un elemento neutro della moltiplicazione. E' la matrice identità (I) $$ A \cdot I = A \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A $$
- ogni matrice invertibile A∈M2 ha un elemento opposto. E' la matrice inversa A-1 $$ A \cdot A^{-1} = I $$
Nota. In questo esempio sto considerando esclusivamente le matrici invertibili ossia le matrici con determinante non nullo. Questa condizione è necessaria perché ogni matrice abbia un elemento opposto. Se considerassi anche le matrici 2x2 con determinante nullo, quindi anche quelle non invertibili, alcune matrici di M2 non avrebbero un elemento opposto violando una delle condizioni necessarie dei gruppi.
Il gruppo (M2, · ) è un gruppo non abeliano perché il prodotto riga per colonna tra le matrici non soddisfa la proprietà commutativa.
Ad esempio, considero due matrici quadrate 2x2
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$
Il prodotto riga per colonna delle due matrici AB è ancora una matrice quadrata
$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $$
Se inverto l'ordine dei fattori nella moltiplicazione matriciale ottengo ancora una matrice quadrata ma il risultato è diverso
$$ BA = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} $$
Essendo il risultato diverso il gruppo (M2, · ) è un gruppo non abeliano.
$$ AB \ne BA $$
Basta trovare un risultato diverso per dimostrare che in generale il prodotto riga per colonna tra matrici non è un'operazione commutativa.
Nota. Viceversa, il gruppo delle matrici (M2,+) rispetto all'operazione di addizione (+) è un gruppo abeliano perché soddisfa la proprietà commutativa. $$ \forall \ A,B \in M_2 \rightarrow A+B = B+A $$
E così via
