Elemento neutro di un gruppo

In un gruppo (G,*) un elemento e di G è detto "elemento neutro" (o "elemento identità") rispetto all'operazione binaria ∗ se per ogni elemento g in G, vale l'uguaglianza: $$ g∗e=e∗g=g $$

L'elemento neutro  è un elemento che, quando viene combinato con qualsiasi altro elemento del gruppo attraverso l'operazione di gruppo, non cambia l'altro elemento.

In altre parole, moltiplicare o combinare qualsiasi elemento del gruppo con l'elemento neutro dà come risultato lo stesso elemento.

Ad esempio, in un gruppo moltiplicativo, l'elemento neutro è spesso indicato con la notazione 1 oppure e. In un gruppo additivo, invece, l'elemento neutro viene indicato con 0. Tuttavia, è importante notare che l'elemento neutro di un gruppo può essere denotato in qualsiasi modo, a condizione che sia chiaro quale elemento rappresenta.

Un esempio pratico

Considero l'insieme degli interi Z e l'operazione dell'addizione (+).

L'elemento neutro in questo caso è il numero 0.

Questo perché per ogni intero a in Z, vale che a+0=0+a=a.

$$ a+0=0+a=a $$

Quindi, l'addizione di qualsiasi intero con 0 dà come risultato lo stesso intero.

Per esempio:

$$ 3+0=0+3=3 $$

$$ (−5)+0=0+(−5)=−5 $$

Quindi, in questo caso, l'elemento neutro è il numero 0, poiché l'addizione di qualsiasi intero con 0 non cambia il valore dell'intero.

Osservazioni

Alcune osservazioni sull'elemento neutro di un gruppo

• L'elemento neutro di un gruppo è unico
  In un gruppo (G,*) esiste uno e un solo elemento neutro rispetto all'operazione *.

  Dimostrazione. Considero per assurdo che esistano due elementi neutri "e" e "u". Allora per ogni elemento g dell'insieme G devono valere le seguenti regole. $$ \forall \ g \in G \ \ eg=ge=g $$ $$ \forall \ g \in G \ \ ug=gu=g $$ Ora se applico l'elemento neutro u all'elemento e, per la definizione di elemento neutro, ottengo l'elemento e. $$ ue =eu = e $$ Allo stesso modo se applico l'elemento neutro e all'elemento u, per la stessa ragione ottengo l'elemento u $$ eu = ue = u $$ Questo implica che u=e sono lo stesso elemento perché sono il risultato della stessa operazione (ue=eu=e=u).

E così via.