Isomorfismo di gruppi
Nell'algebra astratta un isomorfismo tra due gruppi (G,·) e (H,*) è una biezione (corrispondenza biunivoca) tra i due gruppi tale che per ogni elemento a,b di G si ha $$ f(a·b) = f(a)*f(b) $$ dove f(a) e f(b) appartengono a (H,*)
In pratica l'isomorfismo è un reciproco omomorfismo tra due gruppi
- un omomorfismo dal primo al secondo gruppo tramite un'applicazione $$ f:G \rightarrow H $$
- un omorfismo dal secondo al primo gruppo tramite l'applicazione inversa $$ f^{-1}:H \rightarrow G $$
Un esempio pratico
Considero la funzione esponenziale
$$ f(x) = e^x $$
il gruppo additivo dei numeri reali
$$ (R,+) $$
e il gruppo moltiplicativo dei numeri reali positivi
$$ (R^+,·) $$
Questi due gruppi (R,+) e (R+,·) realizzano un isomorfismo tramite l'applicazione f(x)=ex perché vale l'identità seguente
$$ \forall \ a,b \in R \Longrightarrow e^{a+b}=e^a \cdot e^b $$
e viceversa
$$ \forall \ a,b \in R^+ \Longrightarrow \ln(a \cdot b)= \ln(a) + \log(b) $$
Dove la funzione logaritmica (ln) è la funzione inversa f-1 della funzione esponenziale.
