Esercizio teoria dei gruppi 6

Trovare i generatori del gruppo ciclico (Z₈,+₈) dove Z₈={0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'addizione modulo 8

Verifico quali sono i sottogruppi generati da ogni singolo elemento.

elemento x	sottogruppo generato da x	ordine elemento
<0>	{0}	1
<1>	{0,1,2,3,4,5,6,7}	8
<2>	{0,2,4,6}	4
<3>	{3,6,1,4,7,2,5,0}	8
<4>	{0,4}	2
<5>	{5,2,7,4,1,6,3,0}	8
<6>	{6,4,2,0}	4
<7>	{7,6,5,4,3,2,1,0}	8

Gli elementi 1, 3, 5, 7 generano ogni elemento dell'insieme Z₈. Pertanto, sono dei generatori del gruppo ciclico (Z₈,+₈) dove Z₈={0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'addizione modulo 8.

<1>= {0,1,2,3,4,5,6,7}=Z₈
<3>= {3,6,1,4,7,2,5,0}=Z₈
<5>= {5,2,7,4,1,6,3,0}=Z₈
<7>= {7,6,5,4,3,2,1,0}=Z₈