Esercizio teoria dei gruppi 6
Trovare i generatori del gruppo ciclico (Z8,+8) dove Z8={0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'addizione modulo 8
Verifico quali sono i sottogruppi generati da ogni singolo elemento.
elemento x | sottogruppo generato da x | ordine elemento |
---|---|---|
<0> | {0} | 1 |
<1> | {0,1,2,3,4,5,6,7} | 8 |
<2> | {0,2,4,6} | 4 |
<3> | {3,6,1,4,7,2,5,0} | 8 |
<4> | {0,4} | 2 |
<5> | {5,2,7,4,1,6,3,0} | 8 |
<6> | {6,4,2,0} | 4 |
<7> | {7,6,5,4,3,2,1,0} | 8 |
Gli elementi 1, 3, 5, 7 generano ogni elemento dell'insieme Z8. Pertanto, sono dei generatori del gruppo ciclico (Z8,+8) dove Z8={0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'addizione modulo 8.
- <1>= {0,1,2,3,4,5,6,7}=Z8
- <3>= {3,6,1,4,7,2,5,0}=Z8
- <5>= {5,2,7,4,1,6,3,0}=Z8
- <7>= {7,6,5,4,3,2,1,0}=Z8