Esercizio gruppi 9
Verificare se il gruppo additivo (Z,+) è omomorfo rispetto al gruppo (Z,·) la relazione f:x→ix
Dove i è l'unità immaginaria dei numeri complessi
$$ f:(R,+) \rightarrow (R, \cdot) $$
Si parla di omomorfismo di gruppi da un gruppo (G,*) a un gruppo (H,#) tramite una relazione f
$$ f:G \rightarrow H $$
se per qualsiasi coppia di elementi a,b di G è soddisfatta la condizione
$$ \forall \ a,b \in G \Rightarrow f(a*b) = f(a) \# f(b) $$
In questo caso la funzione f da verificare è ix, gli insiemi G=H sono l'insieme dei numeri interi (Z) e i gruppi sono (Z,+) e (Z,·).
Quindi l'operazione binaria da considerare è *=+ e #=·
$$ \forall \ a,b \in Z \Rightarrow i^{a+b} = i^a \cdot i^b $$
Sapendo che per le proprietà delle potenze
$$ i^{a+b} = i^a \cdot i^b $$
Ne consegue che la relazione f(a*b) = f(a)#f(b) è vera per qualsiasi a,b∈Z
Pertanto, il gruppo additivo (Z,+) è omomorfo al gruppo (Z,·) la funzione x→ix.
Esempio. Considero i numeri a=2 e b=3 del gruppo additivo (Z,+). $$ f(a+b) = f(a) \cdot f(b) $$ L'applicazione che lega i due gruppi è f:x→ix $$ i^{(2+3)} = i^2 \cdot i^3 $$ $$ i^5 = i^5 $$ L'uguaglianza è vera ed è vera per qualsiasi altro valore di a e b.
E così via.
