Esercizio teoria dei gruppi 6

Trovare i sottogruppi propri e impropri del gruppo moltiplicativo (S,·) dove S={1,-1,i,-i} è composto da quattro numeri complessi

Il gruppo moltiplicativo (S,·) è composto un insieme di quattro numeri complessi S={1,-1,i,-i}

$$ S = \{1,-1,i,-i\} $$

Elenco tutte le combinazioni possibili degli elementi dell'insieme S ossia il suo insieme delle parti.

Per prima cosa elimino tutti i sottoinsiemi S'⊆S che non includono l'elemento neutro u=1 perché sicuramente non sono sottogruppi di (S,·)

1	-1	i	-i	S' ⊆ S	Nota
*	*	*	*	S'={1,-1,i,-i}
*	*	*		S'={1,-1,i}
*	*		*	S'={1,-1,-i}
*	*			S'={1,-1}
*		*	*	S'={1,i,-i}
*		*		S'={1,i}
*			*	S'={1,-i}
*				S'={1}
	*	*	*	S'={-1,i,-i}	non c'è l'elemento neutro u=1
	*	*		S'={-1,i}	non c'è l'elemento neutro u=1
	*		*	S'={-1,-i}	non c'è l'elemento neutro u=1
	*			S'={-1}	non c'è l'elemento neutro u=1
		*	*	S'={i,-i}	non c'è l'elemento neutro u=1
		*		S'={i}	non c'è l'elemento neutro u=1
			*	S'={-i}	non c'è l'elemento neutro u=1
				S'={}	non c'è l'elemento neutro u=1

Poi individuo i sottogruppi impropri, ossi quelli in cui S'=S e S'={u}={1}

1	-1	i	-i	S' ⊆ S	Nota
*	*	*	*	S'={1,-1,i,-i}	sottogruppo improprio S'=S
*	*	*		S'={1,-1,i}
*	*		*	S'={1,-1,-i}
*	*			S'={1,-1}
*		*	*	S'={1,i,-i}
*		*		S'={1,i}
*			*	S'={1,-i}
*				S'={1}	sottogruppo improprio S'={u}={1}

Nei sottoinsiemi restanti S' verifico quali non sono chiusi rispetto alla moltiplicazione.

Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i²=-1

1	-1	i	-i	S' ⊆ S	Nota
*	*	*	*	S'={1,-1,i,-i}	sottogruppo improprio S'=S
*	*	*		S'={1,-1, i}	-1·i = -i ∉ {1,-1,i}
*	*		*	S'={1,-1,-i}	-1·(-i) = i ∉ {1,-1,-i}
*	*			S'={1,-1}
*		*	*	S'={1,i,-i}	i·i = i²=-1 ∉ {1,i,.i}
*		*		S'={1,i}	i·i = i²=-1 ∉ {1,i}
*			*	S'={1,-i}	(-i)·(-i) = i²=-1 ∉ {1,-i}
*				S'={1}	sottogruppo improprio S'={u}={1}

Ora devo capire se l'ultimo sottoinsieme in gioco S'={1,-1} è un sottogruppo oppure no.

Sapendo che

Verifico se soddisfa le restanti proprietà dei gruppi.

S'={1,-1} include l'elemento opposto di ogni suo elemento $$ 1 \cdot 1 = 1 = u $$ $$ -1 \cdot -1 = 1 = u $$
S'={1,-1} soddisfa la proprietà associativa della moltiplicazione $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in {1,-1} $$

Tutte le proprietà dei gruppi sono soddisfatte.

Pertanto il sottoinsieme S'={1,-1} è un sottogruppo proprio di (S,·).

1	-1	i	-i	S' ⊆ S	Nota
*	*	*	*	S'={1,-1,i,-i}	sottogruppo improprio S'=S di (S,·)
*	*			S'={1,-1}	sottogruppo proprio di (S,·)
*				S'={1}	sottogruppo improprio S'={u}={1} di (S,·)

In conclusione, il gruppo moltiplicativo (S,·) ha tre sottogruppi di cui due sono impropri.

E così via.