Esercizio gruppi 5

Verificare se l'insieme finito dei numeri interi Z8={0,1,2,3,4,5,6,7} forma un gruppo rispetto all'operazione di addizione modulo 8 (+8).

  • Operazione binaria chiusa
    L'operazione di addizione modulo 8 (+8) è chiusa nell'insieme Z8. Se considero due elementi qualsiasi Z8 e li sommo con l'operazione +8, la somma appartiene all'insieme Z8. La tavola di composizione del gruppo (S,+8) è la seguente

    a +8 b 0 1 2 3 4 5 6 7
    0 0 1 2 3 4 5 6 7
    1 1 2 3 4 5 6 7 0
    2 2 3 4 5 6 7 0 1
    3 3 4 5 6 7 0 1 2
    4 4 5 6 7 0 1 2 3
    5 5 6 7 0 1 2 3 4
    6 6 7 0 1 2 3 4 5
    7 7 0 1 2 3 4 5 6
  • Proprietà associativa
    Nell'insieme Z8 l'operazione di addizione modulo 8 soddisfa la proprietà associativa. $$ (a + b) + c = a + (b + c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$
  • Elemento neutro
    Nell'insieme Z8 esiste l'elemento neutro dell'operazione di addizione modulo 8. E' l'elemento e=0. $$ a + 0 =0 + a=a $$
  • Elemento opposto
    Ogni elemento (a) dell'insieme Z8 ha un elemento opposto a-1 nell'insieme Z8 tale che $$ a + a^{-1} = a^{-1} +a = 0 $$

    Esempio. L'elemento opposto di a=7 e l'elemento a-1=1 perché 7 +8 1 = 0. L'elemento opposto di a=6 e l'elemento a-1=2 perché 6 +8 2 = 0. E via dicendo.

Tutte le proprietà dei gruppi sono soddisfatte

Soluzione

In conclusione, l'insieme finito di numeri interi Z8 forma un gruppo rispetto all'addizione modulo 8.

E così via.

 


 

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