Esercizio gruppi 5
Verificare se l'insieme finito dei numeri interi Z8={0,1,2,3,4,5,6,7} forma un gruppo rispetto all'operazione di addizione modulo 8 (+8).
- Operazione binaria chiusa
L'operazione di addizione modulo 8 (+8) è chiusa nell'insieme Z8. Se considero due elementi qualsiasi Z8 e li sommo con l'operazione +8, la somma appartiene all'insieme Z8. La tavola di composizione del gruppo (S,+8) è la seguente
a +8 b 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1 3 3 4 5 6 7 0 1 2 4 4 5 6 7 0 1 2 3 5 5 6 7 0 1 2 3 4 6 6 7 0 1 2 3 4 5 7 7 0 1 2 3 4 5 6 - Proprietà associativa
Nell'insieme Z8 l'operazione di addizione modulo 8 soddisfa la proprietà associativa. $$ (a + b) + c = a + (b + c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$ - Elemento neutro
Nell'insieme Z8 esiste l'elemento neutro dell'operazione di addizione modulo 8. E' l'elemento e=0. $$ a + 0 =0 + a=a $$ - Elemento opposto
Ogni elemento (a) dell'insieme Z8 ha un elemento opposto a-1 nell'insieme Z8 tale che $$ a + a^{-1} = a^{-1} +a = 0 $$Esempio. L'elemento opposto di a=7 e l'elemento a-1=1 perché 7 +8 1 = 0. L'elemento opposto di a=6 e l'elemento a-1=2 perché 6 +8 2 = 0. E via dicendo.
Tutte le proprietà dei gruppi sono soddisfatte
Soluzione
In conclusione, l'insieme finito di numeri interi Z8 forma un gruppo rispetto all'addizione modulo 8.
E così via.