Esercizio gruppi 4
L'insieme A={1,-1,i,-i} composto da quattro numeri complessi forma un gruppo rispetto alla moltiplicazione?
Verifico se le proprietà dei gruppi sono soddisfatte.
- Operazione binaria chiusa
La moltiplicazione è un'operazione binaria chiusa nell'insieme A={1,-1,i,-i} $$ \forall a,b \in Z \ \Rightarrow \ a \cdot b \in Z$$Verifica. Ricordando che nei numeri complessi il quadrato dell'unità immaginaria i2=-1. $$ 1 \cdot 1 = 1 \in A $$ $$ 1 \cdot (-1) = -1 \in A $$ $$ -1 \cdot (-1) =-1 \in A $$ $$ i \cdot i = i^2 = -1 \in A $$ $$ i \cdot (-i) = -i^2 = - (-1) = 1 \in A $$ $$ -i \cdot (-i) = i^2 = -1 \in A $$ $$ 1 \cdot (i) = i \in A $$ $$ -1 \cdot (i) = -i \in A $$
- Proprietà associativa
Nell'insieme A l'operazione della moltiplicazione soddisfa la proprietà associativa. $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$ - Elemento neutro
Nell'insieme A esiste un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione. E' l'elemento a=1 $$ a \cdot 1 =1 \cdot a=a \ \ \ \forall \ a \in A $$ - Elemento opposto
Ogni elemento dell'insieme A={1,-1,i,-i} ha un elemento opposto rispetto alla moltiplicazione. $$ a \cdot a^{-1} =1 \ \ \ \forall \ a \in A $$ Dove a-1 non è il reciproco di a bensì l'inverso moltiplicativo dell'elemento nel gruppo, ossia un elemento del gruppo tale che a·a-1 sia uguale all'elemento neutro (1).
Verifica. L'inverso moltiplicativo di 1 è 1 $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ L'inverso moltiplicativo di -1 è -1 $$ -1 \cdot -1 = 1 $$ L'inverso moltiplicativo di i è -i $$ i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1 $$ L'inverso moltiplicativo di -i è i $$ -i \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1 $$
Tutte le proprietà sono soddisfatte.
Soluzione
In conclusione, l'insieme A forma un gruppo (A,·) rispetto alla moltiplicazione.
E così via.
