Esercizio gruppi 3

L'insieme dei numeri interi Z è un gruppo rispetto all'addizione?

Per rispondere alla domanda verifico se le proprietà dei gruppi è soddisfatta.

1. Operazione binaria chiusa
   L'insieme Z è chiuso rispetto all'operazione di addizione. La somma di due numeri interi qualsiasi è ancora un numero intero. $$ \forall a,b \in Z \ \Rightarrow \ a + b \in Z$$
2. Proprietà associativa
   Nell'insieme dei numeri interi Z l'operazione dell'addizione soddisfa la proprietà associativa. $$ (a + b) + c = a + (b + c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$
3. Elemento neutro
   Nell'insieme Z esiste l'elemento neutro dell'addizione. E' l'elemento e=0. Qualsiasi elemento a∈Z sommato a zero dà come risultato il numero stesso. $$ a + 0 =0 + a=a $$
4. Elemento opposto
   Ogni numero intero (a) ha l'elemento opposto (-a) rispetto all'addizione nell'insieme dei numeri interi. $$ a + (-a) = (-a) +a = 0 $$

Tutte le proprietà dei gruppi sono soddisfatte.

Soluzione

In conclusione, l'insieme dei numeri interi Z è un gruppo (Z,+) rispetto all'addizione.

E così via.