Esercizi svolti sui gruppi
Alcuni esercizi svolti sulla teoria dei gruppi
Esercizio 1
L'insieme finito A={-3,-2,-1,0,1,2,3} è un gruppo rispetto all'operazione di addizione (+) dei numeri interi (Z)?
Per rispondere a questa domanda verifico se l'insieme A rispetto all'operazione di addizione soddisfa tutte le proprietà dei gruppi.
- Nell'insieme A l'operazione + soddisfa la proprietà associativa. $$ (a+b)+c = a+(b+c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$
- Nell'insieme A esiste l'elemento neutro (o elemento identità). E' l'elemento a=0. Qualsiasi elemento a di A sommato a zero dà come risultato l'elemento stesso $$ a+0=0+a=a $$
- Ogni elemento dell'insieme A ha un elemento inverso in A rispetto all'addizione. Ad esempio $$ 1+(-1)=0, 2+(-2)=0, 3+(-3)=0, 0+0=0 $$
- L'insieme A non è chiuso rispetto all'operazione di addizione + dei numeri interi. Per essere un gruppo in A, il risultato dell'addizione dovrebbe essere sempre incluso nell'insieme A. Questo però non accade. Ad esempio $$ 3+1=4 \notin A $$
Pur soddisfacendo le prime tre proprietà, il testo dell'esercizio chiedeva esplicitamente se l'insieme A formava un gruppo con l'addizione + dei numeri interi (Z).
Nota. L'addizione dei numeri interi (Z) non è l'addizione dell'aritmetica modulare.
Soluzione
Pertanto, l'insieme A non forma un gruppo rispetto all'addizione + dei numeri interi.
Esercizio 2
L'insieme dei numeri interi Z è un gruppo rispetto alla moltiplicazione?
Verifico se le proprietà dei gruppi è soddisfatta.
- Operazione binaria chiusa
L'insieme Z è chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione. Il prodotto di due numeri interi qualsiasi è ancora un numero intero. $$ \forall a,b \in Z \ \Rightarrow \ a \cdot b \in Z$$ - Proprietà associativa
Nell'insieme dei numeri interi Z l'operazione della moltiplicazione soddisfa la proprietà associativa. $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$ - Elemento neutro
Nell'insieme Z esiste l'elemento neutro della moltiplicazione. E' l'elemento e=1. Qualsiasi elemento a di Z moltiplicato per 1 dà come risultato il numero stesso. $$ a \cdot 1=1 \cdot a=a $$ - Elemento opposto
Non esiste un elemento moltiplicativo inverso per tutti i numeri interi. Ad esempio, l'inverso moltiplicativo di 3 è 1/3 che non appartiene all'insieme dei numeri interi. $$ 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 $$ Pertanto, in questo caso l'elemento opposto non esiste.
Soluzione
In conclusione, l'insieme dei numeri interi Z non forma un gruppo con l'operazione di moltiplicazione.
Esercizio 3
L'insieme dei numeri interi Z è un gruppo rispetto all'addizione?
Per rispondere alla domanda verifico se le proprietà dei gruppi è soddisfatta.
- Operazione binaria chiusa
L'insieme Z è chiuso rispetto all'operazione di addizione. La somma di due numeri interi qualsiasi è ancora un numero intero. $$ \forall a,b \in Z \ \Rightarrow \ a + b \in Z$$ - Proprietà associativa
Nell'insieme dei numeri interi Z l'operazione dell'addizione soddisfa la proprietà associativa. $$ (a + b) + c = a + (b + c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$ - Elemento neutro
Nell'insieme Z esiste l'elemento neutro dell'addizione. E' l'elemento e=0. Qualsiasi elemento a∈Z sommato a zero dà come risultato il numero stesso. $$ a + 0 =0 + a=a $$ - Elemento opposto
Ogni numero intero (a) ha l'elemento opposto (-a) rispetto all'addizione nell'insieme dei numeri interi. $$ a + (-a) = (-a) +a = 0 $$
Tutte le proprietà dei gruppi sono soddisfatte.
Soluzione
In conclusione, l'insieme dei numeri interi Z è un gruppo (Z,+) rispetto all'addizione.
Esercizio 4
L'insieme A={1,-1,i,-i} composto da quattro numeri complessi forma un gruppo rispetto alla moltiplicazione?
Verifico se le proprietà dei gruppi sono soddisfatte.
- Operazione binaria chiusa
La moltiplicazione è un'operazione binaria chiusa nell'insieme A={1,-1,i,-i} $$ \forall a,b \in Z \ \Rightarrow \ a \cdot b \in Z$$Verifica. Ricordando che nei numeri complessi il quadrato dell'unità immaginaria i2=-1. $$ 1 \cdot 1 = 1 \in A $$ $$ 1 \cdot (-1) = -1 \in A $$ $$ -1 \cdot (-1) =-1 \in A $$ $$ i \cdot i = i^2 = -1 \in A $$ $$ i \cdot (-i) = -i^2 = - (-1) = 1 \in A $$ $$ -i \cdot (-i) = i^2 = -1 \in A $$ $$ 1 \cdot (i) = i \in A $$ $$ -1 \cdot (i) = -i \in A $$
- Proprietà associativa
Nell'insieme A l'operazione della moltiplicazione soddisfa la proprietà associativa. $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$ - Elemento neutro
Nell'insieme A esiste un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione. E' l'elemento a=1 $$ a \cdot 1 =1 \cdot a=a \ \ \ \forall \ a \in A $$ - Elemento opposto
Ogni elemento dell'insieme A={1,-1,i,-i} ha un elemento opposto rispetto alla moltiplicazione. $$ a \cdot a^{-1} =1 \ \ \ \forall \ a \in A $$ Dove a-1 non è il reciproco di a bensì l'inverso moltiplicativo dell'elemento nel gruppo, ossia un elemento del gruppo tale che a·a-1 sia uguale all'elemento neutro (1).
Verifica. L'inverso moltiplicativo di 1 è 1 $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ L'inverso moltiplicativo di -1 è -1 $$ -1 \cdot -1 = 1 $$ L'inverso moltiplicativo di i è -i $$ i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1 $$ L'inverso moltiplicativo di -i è i $$ -i \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1 $$
Tutte le proprietà sono soddisfatte.
Soluzione
In conclusione, l'insieme A forma un gruppo (A,·) rispetto alla moltiplicazione.
Esercizio 5
Verificare se l'insieme finito dei numeri interi Z8={0,1,2,3,4,5,6,7} forma un gruppo rispetto all'operazione di addizione modulo 8 (+8).
- Operazione binaria chiusa
L'operazione di addizione modulo 8 (+8) è chiusa nell'insieme Z8. Se considero due elementi qualsiasi Z8 e li sommo con l'operazione +8, la somma appartiene all'insieme Z8. La tavola di composizione del gruppo (S,+8) è la seguente
a +8 b 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1 3 3 4 5 6 7 0 1 2 4 4 5 6 7 0 1 2 3 5 5 6 7 0 1 2 3 4 6 6 7 0 1 2 3 4 5 7 7 0 1 2 3 4 5 6 - Proprietà associativa
Nell'insieme Z8 l'operazione di addizione modulo 8 soddisfa la proprietà associativa. $$ (a + b) + c = a + (b + c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$ - Elemento neutro
Nell'insieme Z8 esiste l'elemento neutro dell'operazione di addizione modulo 8. E' l'elemento e=0. $$ a + 0 =0 + a=a $$ - Elemento opposto
Ogni elemento (a) dell'insieme Z8 ha un elemento opposto a-1 nell'insieme Z8 tale che $$ a + a^{-1} = a^{-1} +a = 0 $$Esempio. L'elemento opposto di a=7 e l'elemento a-1=1 perché 7 +8 1 = 0. L'elemento opposto di a=6 e l'elemento a-1=2 perché 6 +8 2 = 0. E via dicendo.
Tutte le proprietà dei gruppi sono soddisfatte
Soluzione
In conclusione, l'insieme finito di numeri interi Z8 forma un gruppo rispetto all'addizione modulo 8.
Esercizio 6
Trovare i sottogruppi propri e impropri del gruppo moltiplicativo (S,·) dove S={1,-1,i,-i} è composto da quattro numeri complessi
Il gruppo moltiplicativo (S,·) è composto un insieme di quattro numeri complessi S={1,-1,i,-i}
$$ S = \{1,-1,i,-i\} $$
Dove il simbolo i è l'unità immaginaria dei numeri complessi.
Elenco tutte le combinazioni possibili degli elementi dell'insieme S ossia il suo insieme delle parti.
Per prima cosa elimino tutti i sottoinsiemi S'⊆S che non includono l'elemento neutro u=1 perché sicuramente non sono sottogruppi di (S,·)
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Nota |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S'={1,-1,i,-i} | |
| * | * | * | S'={1,-1,i} | ||
| * | * | * | S'={1,-1,-i} | ||
| * | * |
|
S'={1,-1} | ||
| * | * | * | S'={1,i,-i} | ||
| * | * | S'={1,i} | |||
| * | * | S'={1,-i} | |||
| * | S'={1} | ||||
| * | * | * | S'={-1,i,-i} | non c'è l'elemento neutro u=1 | |
| * | * | S'={-1,i} | non c'è l'elemento neutro u=1 | ||
| * | * | S'={-1,-i} | non c'è l'elemento neutro u=1 | ||
| * | S'={-1} | non c'è l'elemento neutro u=1 | |||
| * | * | S'={i,-i} | non c'è l'elemento neutro u=1 | ||
| * | S'={i} | non c'è l'elemento neutro u=1 | |||
| * | S'={-i} | non c'è l'elemento neutro u=1 | |||
| S'={} | non c'è l'elemento neutro u=1 |
Poi individuo i sottogruppi impropri, ossi quelli in cui S'=S e S'={u}={1}
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Nota |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S'={1,-1,i,-i} | sottogruppo improprio S'=S |
| * | * | * | S'={1,-1,i} | ||
| * | * | * | S'={1,-1,-i} | ||
| * | * |
|
S'={1,-1} | ||
| * | * | * | S'={1,i,-i} | ||
| * | * | S'={1,i} | |||
| * | * | S'={1,-i} | |||
| * | S'={1} | sottogruppo improprio S'={u}={1} |
Nei sottoinsiemi restanti S' verifico quali non sono chiusi rispetto alla moltiplicazione.
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Nota |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S'={1,-1,i,-i} | sottogruppo improprio S'=S |
| * | * | * | S'={1,-1, i} | -1·i = -i ∉ {1,-1,i} | |
| * | * | * | S'={1,-1,-i} | -1·(-i) = i ∉ {1,-1,-i} | |
| * | * |
|
S'={1,-1} | ||
| * | * | * | S'={1,i,-i} | i·i = i2=-1 ∉ {1,i,.i} | |
| * | * | S'={1,i} | i·i = i2=-1 ∉ {1,i} | ||
| * | * | S'={1,-i} | (-i)·(-i) = i2=-1 ∉ {1,-i} | ||
| * | S'={1} | sottogruppo improprio S'={u}={1} |
Ora devo capire se l'ultimo sottoinsieme in gioco S'={1,-1} è un sottogruppo oppure no.
Sapendo che
- S'={1,-1} include l'elemento neutro u=1
- S'={1,-1} è chiuso rispetto alla moltiplicazione
Verifico se soddisfa le restanti proprietà dei gruppi.
- S'={1,-1} include l'elemento opposto di ogni suo elemento $$ 1 \cdot 1 = 1 = u $$ $$ -1 \cdot -1 = 1 = u $$
- S'={1,-1} soddisfa la proprietà associativa della moltiplicazione $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in {1,-1} $$
Tutte le proprietà dei gruppi sono soddisfatte.
Pertanto il sottoinsieme S'={1,-1} è un sottogruppo proprio di (S,·).
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Nota |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S'={1,-1,i,-i} | sottogruppo improprio S'=S di (S,·) |
| * | * |
|
S'={1,-1} | sottogruppo proprio di (S,·) | |
| * | S'={1} | sottogruppo improprio S'={u}={1} di (S,·) |
In conclusione, il gruppo moltiplicativo (S,·) ha tre sottogruppi di cui due sono impropri.
Esercizio 6bis
Trovare i generatori del gruppo ciclico (Z8,+8) dove Z8={0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'addizione modulo 8
Verifico quali sono i sottogruppi generati da ogni singolo elemento.
| elemento x | sottogruppo generato da x | ordine elemento |
|---|---|---|
| <0> | {0} | 1 |
| <1> | {0,1,2,3,4,5,6,7} | 8 |
| <2> | {0,2,4,6} | 4 |
| <3> | {3,6,1,4,7,2,5,0} | 8 |
| <4> | {0,4} | 2 |
| <5> | {5,2,7,4,1,6,3,0} | 8 |
| <6> | {6,4,2,0} | 4 |
| <7> | {7,6,5,4,3,2,1,0} | 8 |
Gli elementi 1, 3, 5, 7 generano ogni elemento dell'insieme Z8. Pertanto, sono dei generatori del gruppo ciclico (Z8,+8) dove Z8={0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'addizione modulo 8.
- <1>= {0,1,2,3,4,5,6,7}=Z8
- <3>= {3,6,1,4,7,2,5,0}=Z8
- <5>= {5,2,7,4,1,6,3,0}=Z8
- <7>= {7,6,5,4,3,2,1,0}=Z8
Esercizio 7
Verificare se il gruppo simmetrico dell'insieme S={1,2,3,4} è un gruppo abeliano oppure no.
L'insieme S={1,2,3,4} è composto da n=4 elementi
$$ S = \{ 1,2,3,4 \} $$
Un gruppo simmetrico è un gruppo formato dall'insieme Sn delle permutazioni degli elementi dell'insieme S rispetto all'operazione di composizione.
L'insieme delle permutazioni S4 è composto da n!=24 elementi.
| σ | Permutazione | Notazione alternativa |
|---|---|---|
| σ1 | 1,2,3,4 | (1) |
| σ2 | 2,1,3,4 | (1,2) |
| σ3 | 3,2,1,4 | (1,3) |
| σ4 | 4,2,3,1 | (1,4) |
| σ5 | 1,3,2,4 | (2,3) |
| σ6 | 1,4,3,2 | (2,4) |
| σ7 | 1,2,4,3 | (3,4) |
| σ8 | 2,3,1,4 | (1,2,3) |
| σ9 | 3,1,2,4 | (1,3,2) |
| σ10 | 2,4,3,1 | (1,2,4) |
| σ11 | 4,1,3,2 | (1,4,2) |
| σ12 | 3,2,4,1 | (1,3,4) |
| σ13 | 4,2,1,3 | (1,4,3) |
| σ14 | 1,3,4,2 | (2,3,4) |
| σ15 | 1,4,2,3 | (2,4,3) |
| σ16 | 2,3,4,1 | (1,2,3,4) |
| σ17 | 2,4,1,3 | (1,2,4,3) |
| σ18 | 4,1,2,3 | (1,4,3,2) |
| σ19 | 3,1,4,2 | (1,3,4,2) |
| σ20 | 3,4,2,1 | (1,3,2,4) |
| σ21 | 4,3,1,2 | (1,4,2,3) |
| σ22 | 3,4,1,2 | (1,3)(2,4) |
| σ23 | 4,3,2,1 | (1,4)(2,3) |
| σ24 | 2,1,4,3 | (1,2)(3,4) |
Esempio 1. La permutazione σ8 = 2,3,1,4 può essere scritta anche in forma tabellare come $$ \sigma_8 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$ che equivale a dire $$ \sigma_8: S \rightarrow S \\ 1 \rightarrow 2 \\ 2 \rightarrow 3 \\ 3 \rightarrow 1 \\ 4 \rightarrow 4 $$ Essendoci un ciclo 1→2→3→1 e un'identità 4→4 posso scrivere la permutazione anche nella notazione alternativa come prodotto tra cicli disgiunti (senza elementi in comune) $$ ( 1,2,3) $$ che equivale a dire un ciclo 1→2→3→1 per un ciclo identità 4→4. Il ciclo identità non si scrive nella notazione perché è da ritenersi implicito.
Esempio 2. La permutazione σ22 = 3,4,1,2 posso scriverla anche in forma tabellare come $$ \sigma_8 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$ che equivale a dire $$ \sigma_{22}: S \rightarrow S \\ 1 \rightarrow 3 \\ 2 \rightarrow 4 \\ 3 \rightarrow 1 \\ 4 \rightarrow 2 $$ Essendoci due cicli disgiunti 1→3→1 e 2→4→2 posso scrivere la permutazione anche nella notazione alternativa come prodotto tra cicli disgiunti $$ ( 1,3)(2,4) $$
L'insieme delle permutazioni S4 forma un gruppo simmetrico (S4,o) rispetto all'operazione di composizione o.
$$ (S_4,\text{o}) $$
Dove l'operazione di composizione è la funzione composta fog=f(g) di due permutazioni.
Ad esempio, la composizione σ3 o σ5 = σ3(σ5)
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (3,2,1,4) \ \text{o} \ (1,3,2,4) $$
ossia
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
Nota. Nella notazione alternativa delle permutazioni come cicli disgiunti la composizione si scrive $$ \sigma_3 \text{o} \sigma_5 = (1,3) \ \text{o} \ (2,3) $$
Nella composizione fog=f(g) ho g=σ5=(1,3,2,4) e f=σ3=(3,2,1,4)
Quindi, devo prima svolgere la permutazione interna g e poi quella esterna f.
$$ 1 \rightarrow_g 1 \rightarrow_f 3 $$
$$ 2 \rightarrow_g 3 \rightarrow_f 1 $$
$$ 3 \rightarrow_g 2 \rightarrow_f 2 $$
$$ 4 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 4 $$
Il risultato della composizione è la permutazione (3,1,2,4)
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
ossia
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (3,2,1,4) \ \text{o} \ (1,3,2,4) = (3,1,2,4) $$
Nota. Nella notazione alternativa delle permutazioni come cicli disgiunti il risultato della composizione si scrive $$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (1,3) \ \text{o} \ (1,3,2) $$
Il risultato della composizione σ3 o σ5 è la permutazione (3,1,2,4) che a sua volta appartiene all'insieme Sn
$$ (3,1,2,4) = \sigma_9 \in S_n $$
Per dimostrare che (Sn,o) è un gruppo abeliano verifico se la proprietà commutativa è soddisfatta oppure no.
Ad esempio, calcolo la composizione σ5 o σ3 = σ5(σ3)
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = (1,3,2,4) \ \text{o} \ (3,2,1,4) $$
ossia
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
Nella composizione fog=f(g) ho g=σ3=(3,2,1,4) e f=σ5=(1,3,2,4)
Quindi, devo prima svolgere la permutazione interna g=σ3 e poi quella esterna f=σ5.
$$ 1 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 2 $$
$$ 2 \rightarrow_g 2 \rightarrow_f 3 $$
$$ 3 \rightarrow_g 1 \rightarrow_f 1 $$
$$ 4 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 4 $$
Il risultato della composizione è la permutazione (2,3,1,4)
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
ossia
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = (1,3,2,4) \ \text{o} \ (3,2,1,4) = (2,3,1,4) $$
Il risultato della composizione σ5 o σ3 è la permutazione (2,3,1,4) che a sua volta appartiene all'insieme Sn
$$ (2,3,1,4) = \sigma_8 \in S_n $$
Conclusione
Il risultato della composizione σ3 o σ5 è la permutazione (3,1,2,4)
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (3,2,1,4) \ \text{o} \ (1,3,2,4) = (3,1,2,4) $$
Il risultato della composizione σ5 o σ3 è la permutazione (2,3,1,4)
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = (1,3,2,4) \ \text{o} \ (3,2,1,4) = (2,3,1,4) $$
Essendo due risultati diversi, la composizione non soddisfa la proprietà commutativa
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 \ne \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 $$
In conclusione, il gruppo (S4,o) è un gruppo non abeliano perché non soddisfa la proprietà commutativa.
Nota. In generale tutti i gruppi simmetrici Sn di insiemi S con più di due elementi (n>2) sono gruppi non abeliani ossia gruppi non commutativi.
Esercizio 8
Verificare se il gruppo additivo (R,+) è omomorfo rispetto a se stesso tramite la relazione f:x→x2
$$ f:(R,+) \rightarrow (R,+) $$
Si parla di omomorfismo di gruppi da un gruppo (G,*) a un gruppo (H,#) tramite una relazione f
$$ f:G \rightarrow H $$
se per qualsiasi coppia di elementi a,b di G è soddisfatta la condizione
$$ \forall \ a,b \in G \Rightarrow f(a*b) = f(a) \# f(b) $$
In questo caso la funzione f da verificare è x2, gli insiemi G=H sono l'insieme dei numeri reali (R) e entrambi i gruppi coincidono (R,+).
Quindi l'operazione binaria da considerare è *=+ e #=+
$$ \forall \ a,b \in R \Rightarrow (a+b)^2 = (a)^2+(b)^2 $$
Il quadrato di un binomio (a+b)2 non è uguale alla somma dei quadrati
$$ (a+b)^2 \ne a^2 + b^2 $$
perché
$$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $$
Pertanto, il gruppo additivo (R,+) non è omomorfo rispetto a se stesso tramite la funzione x→x2.
Esercizio 9
Verificare se il gruppo additivo (Z,+) è omomorfo rispetto al gruppo (Z,·) la relazione f:x→ix
Dove i è l'unità immaginaria dei numeri complessi
$$ f:(R,+) \rightarrow (R, \cdot) $$
Si parla di omomorfismo di gruppi da un gruppo (G,*) a un gruppo (H,#) tramite una relazione f
$$ f:G \rightarrow H $$
se per qualsiasi coppia di elementi a,b di G è soddisfatta la condizione
$$ \forall \ a,b \in G \Rightarrow f(a*b) = f(a) \# f(b) $$
In questo caso la funzione f da verificare è ix, gli insiemi G=H sono l'insieme dei numeri interi (Z) e i gruppi sono (Z,+) e (Z,·).
Quindi l'operazione binaria da considerare è *=+ e #=·
$$ \forall \ a,b \in Z \Rightarrow i^{a+b} = i^a \cdot i^b $$
Sapendo che per le proprietà delle potenze
$$ i^{a+b} = i^a \cdot i^b $$
Ne consegue che la relazione f(a*b) = f(a)#f(b) è vera per qualsiasi a,b∈Z
Pertanto, il gruppo additivo (Z,+) è omomorfo al gruppo (Z,·) la funzione x→ix.
Esempio. Considero i numeri a=2 e b=3 del gruppo additivo (Z,+). $$ f(a+b) = f(a) \cdot f(b) $$ L'applicazione che lega i due gruppi è f:x→ix $$ i^{(2+3)} = i^2 \cdot i^3 $$ $$ i^5 = i^5 $$ L'uguaglianza è vera ed è vera per qualsiasi altro valore di a e b.
E così via.
