Esercizio gruppi 2

L'insieme dei numeri interi Z è un gruppo rispetto alla moltiplicazione?

Verifico se le proprietà dei gruppi è soddisfatta.

1. Operazione binaria chiusa
   L'insieme Z è chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione. Il prodotto di due numeri interi qualsiasi è ancora un numero intero. $$ \forall a,b \in Z \ \Rightarrow \ a \cdot b \in Z$$
2. Proprietà associativa
   Nell'insieme dei numeri interi Z l'operazione della moltiplicazione soddisfa la proprietà associativa. $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$
3. Elemento neutro
   Nell'insieme Z esiste l'elemento neutro della moltiplicazione. E' l'elemento e=1. Qualsiasi elemento a di Z moltiplicato per 1 dà come risultato il numero stesso. $$ a \cdot 1=1 \cdot a=a $$
4. Elemento opposto
   Non esiste un elemento moltiplicativo inverso per tutti i numeri interi. Ad esempio, l'inverso moltiplicativo di 3 è 1/3 che non appartiene all'insieme dei numeri interi. $$ 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 $$ Pertanto, in questo caso l'elemento opposto non esiste.

Soluzione

In conclusione, l'insieme dei numeri interi Z non forma un gruppo con l'operazione di moltiplicazione.

E così via.