Il minimo e il massimo di una funzione di due variabili con le linee di livello
Il metodo delle linee di livello è una tecnica grafica per trovare il massimo o il minimo di una funzione $f(x, y)$ su un insieme $A$, cioè sul dominio della funzione.
È un metodo intuitivo e visivo, particolarmente utile per funzioni semplici e per domini delimitati (ad esempio poligoni).
Cosa sono le linee di livello?
Le linee di livello sono le curve nel piano $(x, y)$ lungo le quali la funzione $f(x, y)$ assume un valore costante:
$f(x, y) = \lambda$
In pratica, ogni linea di livello rappresenta tutti i punti del piano in cui la funzione ha lo stesso valore $\lambda$.
Come funziona il metodo?
Il procedimento è semplice e si basa su un ragionamento geometrico:
- Disegno il dominio $A$
- Rappresento l'insieme $A$ sul piano $(x,y)$. Questo insieme delimita l'area in cui cerco il massimo e il minimo della funzione.
- Disegno le linee di livello di $f(x, y)$
- Traccio varie curve $f(x, y) = \lambda$ per diversi valori di $\lambda$. Ogni curva indica dove la funzione vale $\lambda$.
- Individuo il massimo e il minimo
Il massimo è associato alla linea di livello più alta (cioè con $\lambda$ maggiore) che interseca o tocca $A$.
Il minimo è la linea di livello più bassa (cioè con $\lambda$ minore) che tocca $A$.
Quando è utile? Il metodo è molto efficace quando le funzioni sono semplici o con simmetrie (quadrati, cerchi, ellissi), domini *poligonali o delimitati. In altre parole, nelle situazioni in cui è possibile capire visivamente il comportamento della funzione. Per funzioni più complesse o domini irregolari, il metodo resta utile per un primo approccio qualitativo prima di passare a tecniche analitiche più rigorose.
Esempio
Considero la funzione:
$f(x, y) = x^2 + y^2$
e il dominio $A$: un quadrato definito da $-1 \leq x \leq 1$, $-1 \leq y \leq 1$.
Disegno il quadrato $A$ nel piano $(x, y)$.
Le linee di livello sono circonferenze con raggio $\sqrt{\lambda}$ centrate nell'origine.
$$ x^{2}+y^{2}=\lambda,\qquad \lambda\ge 0. $$
Se risolvo per $y$ ottengo
$$ y^{2}=\lambda-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad y=\pm\sqrt{\lambda-x^{2}} $$
Perché la curva di livello intersechi il vincolo dev’essere
Poi disegno le curve di livello variando $ \lambda $.
In questo caso $ \lambda \ge 0 $ deve essere non negativo.
La circonferenza più piccola che interseca $A$ è il cerchio di raggio 0: il punto $(0,0)$, dove $f(0,0) = 0$.
Quindi, il minimo assoluto della funzione nel dominio è $0$ nel punto $ (x,y)=(0,0) $.
La circonferenza più grande che ancora tocca il dominio è quella che passa per i vertici del quadrato.
$$f(1,1) = 1^2 + 1^2 = 2$$
Quindi, il massimo assoluto della funzione nel dominio è $2$ nei punti $(1,1)$, $(-1,1)$, $ (1,-1) $ e $ (-1,-1) $.
Con un semplice disegno ho trovato che il minimo e il massimo della funzione.
E così via.
