Topologia degli open rectangle
La topologia degli open rectangle è una struttura topologica del piano R2 in cui gli insiemi aperti sono definiti come unioni arbitrarie di rettangoli aperti, uno per ciascun asse, ognuno dei quali è un prodotto di due intervalli aperti sulle coordinate cartesiane.
La "topologia degli open rectangle" è definita utilizzando come base l'insieme di tutti i rettangoli aperti (intorni rettangolari aperti).
In altre parole, un insieme \( U \subseteq \mathbb{R}^2 \) è aperto se per ogni punto \( (x, y) \) in \( U \), esiste un rettangolo aperto che contiene \( (x, y) \) e che è interamente contenuto in \( U \).
Questi rettangoli aperti sono gli elementi base della topologia del piano euclideo.
$$ B= \{ (a, b) \times (c, d) | a<b, c<d \} $$
Dove \( a, b, c, d \) sono numeri reali con \( a < b \) e \( c < d \).
Si tratta di una base alternativa del piano \( \mathbb{R}^2 \) rispetto alla topologia standard del piano che, invece, è definita da cerchi.
Nota. Questo dimostra che una topologia può essere generata da diverse basi. La forma scelta per gli insiemi delle basi non influisce sulla topologia, che si tratti di cerchi o di rettangoli, è indifferente per individuare gli insiemi aperti. In tutti i casi, la collezione di tutti questi insiemi aperti forma una base per la topologia di \( \mathbb{R}^2 \).
Un esempio pratico
Un rettangolo aperto nel piano \( \mathbb{R}^2 \) è un prodotto di due intervalli aperti, uno per l'asse delle \( x \) e uno per l'asse delle \( y \).
Ad esempio, prendo gli intervalli aperti \( (1, 3) \) sull'asse delle \( x \) e \( (2, 4) \) sull'asse delle \( y \).
Il rettangolo aperto corrispondente sarà l'insieme di tutti i punti \( (x, y) \) tali che \( x \) è compreso tra 1 e 3 e \( y \) è compreso tra 2 e 4.
Formalmente, possiamo scrivere questo rettangolo aperto come \( (1, 3) \times (2, 4) \).
Questo significa che se scelgo un punto qualsiasi all'interno di questo rettangolo, ad esempio \( (2, 3) \), questo punto avrà una coordinata \( x \) maggiore di 1 ma minore di 3 e una coordinata \( y \) maggiore di 2 ma minore di 4.
Nota. I bordi del rettangolo non sono inclusi nel set, quindi i punti \( (1, y) \), \( (3, y) \), \( (x, 2) \), e \( (x, 4) \) non fanno parte del rettangolo aperto.
E così via.
