Topologia del limite superiore

Nella topologia del limite superiore (upper limit topology), un insieme aperto è definito come qualsiasi unione di intervalli semiaperti a destra della forma (a, b], dove a < b.

Questa definizione stabilisce che, per un intervallo essere considerato aperto nella topologia del limite superiore, deve necessariamente includere il suo estremo superiore ma escludere il suo estremo inferiore.

Formalmente, la base per questa topologia è espressa come:

$$ B = \{ (a,b] ⊂ R \ | \ a<b \} $$

Questa struttura di base indica che ogni elemento è caratterizzato dalla presenza dell'estremo superiore all'interno del sottoinsieme.

Nota. È interessante notare come questa topologia presenti una dualità con la topologia del limite inferiore, nella quale gli intervalli aperti sono di forma [a,b) e includono l'estremo inferiore. Questo confronto evidenzia come la scelta della topologia possa influenzare in modo significativo la definizione stessa di apertura degli insiemi.

La topologia del limite superiore fornisce un'importante prospettiva nel campo della topologia, dimostrando come variazioni nelle definizioni di base possano portare a differenti proprietà e risultati.

Un esempio pratico

Consideriamo l'insieme dei numeri reali R con gli intervalli semiaperti a destra come insiemi aperti.

Esempi di tali insiemi includono (1,3], (2,6], (−3,5], e così via.

L'insieme di tutti gli intervalli semichiusi formano la base della topologia del limite superiore.

In ogni intervallo l'estremo superiore è un elemento dell'insieme, mentre l'estremo inferiore ne è escluso.

E così via.