La differenza tra topologia fine e topologia grossolana
Date due topologie T1 e T2 sull'insieme X, la topologia T1 è detta più fine (finer) se T2 è inclusa in T1. $$ T_2 ⊂ T_1 $$ In questo caso la topologia T2 è detta grossolana (coarser)
Inoltre, se la collezione T1 è più fine di T2 ma non uguale, allora T1 è detta strettamente più fine, mentre T2 è strettamente più grossolana.
- La topologia fine (o la topologia più fine) su un insieme è quella che rende "vicini" il maggior numero possibile di punti, cioè quella che considera aperti il maggior numero di insiemi. In pratica, una topologia è detta più fine di un'altra se contiene tutti gli aperti dell'altra topologia e qualcosa in più.
Ad esempio, la topologia discreta è strettamente più fine della topologia banale sullo stesso insieme X.
- La topologia grossolana (o la topologia più grossolana) su un insieme è quella che, al contrario, rende "vicini" il minor numero possibile di punti, cioè quella che considera aperti il minor numero di insiemi. In altre parole, una topologia è detta più grossolana di un'altra se contiene meno insiemi aperti rispetto all'altra.
Ad esempio, la topologia banale è strettamente più grossolana della topologia discreta sullo stesso insieme X.
Ovviamente, una topologia per essere definita più fine o più grossolana dell'altra, le due topologie devono essere confrontabili nello stesso insieme.
Il che non è sempre detto, perché due topologie potrebbero non essere confrontabili.
Ad esempio, nell'insieme X={a,b} la topologia T1={Ø, {a}, {a,b}} non è confrontabile con la topologia T2={Ø, {b}, {a,b}} perché nella prima topologia T1 l'insieme {a} è un insieme aperto mentre l'insieme {b} non lo è. Nella seconda topologia T2 avviene il contrario, l'insieme {b} è aperto mentre l'insieme {a} non lo è. In questo caso, le due topologie non posso controntarle, né posso affermare che l'una sia più fine o più grossolana dell'altra.
Un esempio pratico
Considero l'insieme X con due elementi
$$ X = \{ a,b \} $$
La topologia discreta T1 sull'insieme X è composta da tutti i sottoinsiemi di X che sono tutti considerati "aperti".
$$ T_1 = \{ \{ \} , \{ a \} , \{ b \} , \{ a,b \} \} $$
La topologia banale T2 sull'insieme X è, invece, composta solo dall'insieme vuoto e dall'insieme completo
$$ T_2 = \{ \{ \} , \{ a,b \} \} $$
In questo caso la topologia banale T2 è un sottoinsieme della topologia discreta T1.
$$ T_2 ⊂ T_1 $$
Inoltre, la topologia T1 non è uguale alla topologia T2.
Quindi, la topologia discreta T1 è strettamente più fine della topologia banale T2.
Di conseguenza, la topologia T2 è strettamente più grossolana della topologia T1.
Esempio 2
Per avere una topologia che sia più fine della topologia banale ma più grossolana della topologia discreta, posso includere alcuni, ma non tutti, i sottoinsiemi di X come insiemi aperti.
Ad esempio, la topologia T3 è più fine della topologia banale T2.
$$ T_3 = \{ \{ \} , \{ a \} , \{ a,b \} \} $$
Nello stesso tempo, la topologia T3 è più grossolana della topologia discreta T1.
Nota. In questo caso, nella topologia T3 ho semplicemente aggiunto un altro singolo elemento {a} agli insiemi aperti oltre all'insieme vuoto { } e all'insieme completo {a,b}, rendendola più fine della banale ma ancora più grossolana della topologia discreta perché non include tutti i possibili sottoinsiemi di X.
E così via.
