La topologia del punto escluso
La topologia del punto escluso su un insieme X è una struttura topologica T che implica l'esclusione di un singolo punto p di X.
La collezione di sottoinsiemi di X presenti nella topologia del punto escluso include i seguenti:
- L'insieme vuoto (Ø)
- L'insieme X stesso
- Tutti i sottoinsiemi di X che non contengono il punto p
In altre parole, ogni aperto nella topologia del punto escluso è definito come un sottoinsieme di X che può essere l'insieme intero X, l'insieme vuoto, o qualsiasi sottoinsieme di X a condizione che non includa il punto p.
Questa definizione crea una topologia perché soddisfa i tre criteri richiesti per essere una topologia su un insieme aperto.
Nota. La peculiarità di questa topologia sta nella sua costruzione attorno all'idea di escludere un punto specifico, il che può portare a proprietà topologiche interessanti e a volte controintuitive.
Un esempio pratico
Considero un insieme X composto da tre elementi.
$$ X = \{a, b, c\} $$
Scelgo \(p = a\) come il punto da escludere.
Per costruire la topologia del punto escluso su X escludendo il punto p, devo includere:
- L'insieme vuoto Ø
- L'intero insieme X stesso, che è X={a, b, c}
- Tutti i sottoinsiemi di X che non contengono il punto "a" che in questo caso sono {b}, {c}, {b,c}.
Quindi, la topologia del punto escluso su X sarà la seguente:
$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$
Questa collezione di insiemi \(T\) soddisfa le proprietà di una topologia:
- L'unione di qualsiasi collezione di questi insiemi appartiene ancora a T.
Ad esempio, \(\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}\) e \(\{b\} \cup \emptyset = \{b\}\), entrambi elementi di T.
- L'intersezione di qualsiasi due di questi insiemi appartiene anche a T.
Ad esempio, \(\{b\} \cap \{c\} = \emptyset\) e \(\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}\), entrambi elementi di T.
- L'insieme vuoto \(\emptyset\) e l'insieme X stesso sono inclusi in T.
Questa topologia mostra come, escludendo un punto specifico (in questo caso l'elemento "a"), si possano creare diverse "forme" di apertura all'interno di X.
E così via.
