Esempio di topologia

Devo determinare tutte le possibili topologie sull'insieme X

$$ X = \{ a,b \} $$

Per farlo devo considerare tutti i possibili insiemi di aperti che soddisfano la definizione di topologia degli insiemi aperti.

Definizione di topologia degli insiemi aperti. Una topologia su un insieme aperto X è una collezione T di sottoinsiemi di X, considerati "aperti", che include l'insieme vuoto ∅ e l'insieme X stesso, ed è chiusa rispetto all'unione e all'intersezione.

Per l'insieme X={a,b}, i possibili sottoinsiemi sono:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Dove X stesso è l'insieme {a,b}.

Pertanto, in ogni topologia T sull'insieme X deve essere sempre presente l'insieme vuoto ∅ e l'insieme X stesso ovvero X={a,b}

A questo punto elenco tutte le possibili combinazioni di questi sottoinsiemi che soddisfano le regole di una topologia:

1. La topologia banale (o minimale), che include solo l'insieme vuoto e l'insieme intero: $$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
2. La topologia che include, oltre agli insiemi della topologia banale, il sottoinsieme {a}: $$ T_2=\{ ∅, \{ a \} , \{a,b \} \} $$
3. La topologia che include, oltre agli insiemi della topologia banale, il sottoinsieme {b}: $$ T_3=\{ ∅, \{ b \} , \{a,b \} \} $$
4. La topologia discreta (o massimale), che include tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme X: $$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{a,b \} \} $$

Queste sono tutte le possibili topologie sull'insieme X.

La topologia banale è quella meno restrittiva, mentre la topologia discreta è quella più restrittiva perché include ogni possibile sottoinsieme di X come aperto.

Complessivamente sono possibili quattro topologie sull'insieme X.

Esempio 2

Considero un insieme X composto da tre elementi

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Devo verificare se questa collezione di sottoinsiemi è una topologia di X

$$ T=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{b,c \} \{a,b,c \} \} $$

Per prima cosa verifico se nella collezione c'è l'insieme vuoto ∅ e l'insieme completo X={1,2,3}

Ci sono entrambi, quindi la prima verifica è passata.

A questo punto verifico se la collezione è chiusa rispetto all'unione degli insiemi.

La collezione T non è chiusa all'unione degli insiemi perché l'unione {a}∪{b} genera l'insieme {a,b} che non è presente in T.

$$  \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\}  \ ∉ T $$

Questo basta per affermare che la collezione T non è una topologia sull'insieme X.

E' del tutto inutile verificare se la collezione è chiusa all'intersezione degli insiemi.

 

E così via.