La topologia banale
La topologia banale (o minimale) su un insieme X è quella che contiene solo l'insieme vuoto e l'insieme stesso. $$ T = \{ \emptyset , X \} $$
E' anche detta trivial topology ed è la più semplice struttura topologica possibile sull'insieme.
Questa topologia è composta solo dall'insieme vuoto Ø e dall'insieme stesso X, ovvero dai soli sottoinsiemi impropri di X.
La spiegazione
Considero un insieme non vuoto X e gli assegno una topologia banale T
$$ (X, T) $$
In questo caso, la topologia banale T è definita come un insieme contenente solo due elementi: l'insieme vuoto () e l'insieme X stesso.
$$ T = \{ \emptyset , X \} $$
La scelta di questi due insiemi specifici ha implicazioni importanti, perché permette di soddisfare le condizioni della topologia degli insiemi aperti.
Affinché T sia una topologia su X, deve soddisfare tre condizioni principali:
- L'insieme vuoto Ø e l'intero spazio X devono essere inclusi in T.
- L'unione di qualsiasi collezione di insiemi aperti in T è anch'essa un insieme aperto che appartiene a T.
- L'intersezione di qualsiasi coppia di insiemi aperti in T è anch'essa un insieme aperto che appartiene a T.
Nel caso della topologia T={Ø, X} queste condizioni sono banalmente soddisfatte
Dimostrazione. L'insieme vuoto e X stesso sono già inclusi nella collezione T per definizione.
Dove l'insieme X è un insieme aperto per ipotesi iniziale mente l'insieme vuoto Ø è considerato aperto per convenzione in ogni spazio topologico.
Inoltre, poiché non ci sono altri insiemi in T, l'unione e l'intersezione non portano a risultati che violano le condizioni di una topologia.
Pertanto, tutte le condizioni necessarie di una topologia sono soddisfatte.
Perché la topologia banale è detta topologia minimale?
La topologia banale è anche detta topologia minimale perché è la più semplice struttura topologica possibile sull'insieme X.
Una topologia è detta topologia minimale quando rimuovendo un qualsiasi elemento dalla collezione T, non si avrebbe più una topologia.
Questo perché, per definizione, una topologia su un insieme X deve almeno includere l'insieme vuoto Ø e l'intero insieme stesso X.
Poiché la topologia banale T={Ø,X} contiene solo l'insieme vuoto e l'insieme stesso, non posso rimuovere nulla.
Se rimuovessi l'insieme vuoto Ø o l'insieme stesso X dalla topologia T, non soddisferebbe più le condizioni necessarie di una topologia.
Per questa ragione la topologia banale T={Ø, X} è la topologia più semplice o minimale che si può avere su X.
Nota. La topologia banale è un caso estremamente semplice ed è utile in certi contesti teorici, ma raramente si incontra in applicazioni pratiche, poiché non fornisce molta struttura o informazione sull'insieme su cui è definita. Rappresenta però un estremo (minimale) nel panorama delle possibili topologie che si possono definire su un insieme. L'altro estremo è rappresentato dalla topologia discreta, in cui ogni possibile sottoinsieme di X è considerato un insieme aperto.
E così via
