Spazio semplicemente connesso in topologia
Uno spazio topologico è semplicemente connesso se ogni cammino chiuso nello spazio è omotopo a un cammino costante che ha per immagine un punto.
In altre parole, una connessione semplice implica che ogni curva chiusa dello spazio può essere deformata fino ad ottenere un punto.
Questo implica che lo spazio topologico sia un unico "pezzo" (spazio connesso) e non ci siano "buchi" al suo interno.
Nota. Da questo deduco che uno spazio semplicemente connesso è anche uno spazio connesso. Tuttavia, non vale il contrario, uno spazio connesso non è detto che sia anche semplicemente connesso.
Un esempio pratico
Ad esempio, una sfera è uno spazio topologico semplicemente connesso perché posso trasformare qualsiasi curva chiusa C al suo interno in un singolo punto.
Viceversa, un toro ovvero una "ciambella" non è uno spazio semplicemente connesso perché la presenza del "buco" mi impedisce di trasformare alcune percorsi chiusi C in singoli punti della sfera.
Questo dimostra anche che uno spazio connesso non è detto che sia anche semplicemente connesso.
La "ciambella" è uno spazio connesso perché per qualsiasi coppia di punti A e B posso trovare un cammino (arco) che li congiunge, senza mai uscire dallo spazio.
Allo stesso tempo la "ciambella" non è uno spazio semplicemente connesso, perché non tutte le sue curve chiuse sono deformabili in punti.
In questi casi, quando uno spazio è connesso ma non semplicemente connesso, si parla di spazio molteplicemente connesso. Ad esempio, la corona circolare o lo spazio toroidale sono esempi pratici di spazi molteplicemente connessi.
Pertanto, la connessione semplice è una condizione più forte rispetto alla connessione per archi.
E così via.
