Topologia del limite inferiore

Nella topologia del limite inferiore (lower limit topology), un insieme aperto è definito come qualsiasi unione di intervalli semiaperti a sinistra della forma [a, b), dove a < b.

In altre parole, un intervallo è aperto nella topologia del limite inferiore se include il suo estremo inferiore ma non il suo estremo superiore.

La base della topologia è la seguente:

$$ B = \{ [a,b) ⊂ R \ | \ a<b \} $$

Ogni elemento della base è caratterizzato da un estremo inferiore che appartiene al sottoinsieme stesso.

Nota. E' una particolare topologia definita sull'insieme dei numeri reali (R) che contrasta con la topologia standard sull'insieme dei reali (R), dove gli intervalli aperti sono della forma (a, b) ed escludono entrambi gli estremi.

La topologia del limite inferiore è spesso utilizzata come esempio in corsi di topologia per illustrare come la scelta della topologia influisca sulla definizione di insieme aperto.

In questa topologia, gli insiemi chiusi a sinistra [a,b) sono considerati insiemi aperti.

Un esempio pratico

Un esempio pratico della topologia del limite inferiore può essere illustrato considerando l'insieme dei numeri reali R con gli intervalli semiaperti a sinistra come insiemi aperti.

Ad esempio, la collezione di sottoinsiemi del tipo [0,2), [1,4), [-4,2), ecc.

L'insieme di tutti gli intervalli semiaperti a sinistra forma la base della topologia del limite inferiore.

E così via.