Derivata dei vettori
Come calcolare la derivata di un vettore
La derivata di un vettore si ottiene derivando le sue componenti. $$ \frac{d \ \vec{v(t)}}{dt} = \frac{d \ v_x(t)}{dt} \vec{u_x} + \frac{d \ v_y(t)}{dt} \vec{u_y} + \frac{d \ v_z(t)}{dt} \vec{u_z} $$
Dove ux, uy, uz sono i versori del sistema di riferimento. Ad esempio, il piano cartesiano x, y, z.
Spesso i versori sono indicati anche come i, j, k.
Nota. L'operazione di derivazione di un vettore segue le stesse regole e proprietà di derivazione delle funzioni.
Un esempio pratico
Prendo come esempio una funzione vettoriale.
Per semplicità la scrivo direttamente come somma delle componenti del vettore.
$$ \vec{v(t)} = [ \ \sin( \pi t) \ ] \vec{u_x} + [ \ 2t^2 \ ] \vec{u_y} + [ \ \cos( \pi t) \ ] \vec{u_z} $$
La derivata prima del vettore v(t) rispetto al tempo (t) è uguale alla somma delle derivate delle sue componenti.
$$ \frac{d \ \vec{v(t)}}{dt} = [ \frac{d \ \sin( \pi t) }{dt} ] \vec{u_x} + [ \frac{d \ 2t^2} {dt} ] \vec{u_y} + [ \frac{d \ \cos( \pi t) } {dt} ] \vec{u_z} $$
Poi calcolo separatamente ogni derivata.
$$ \frac{d \ \vec{v(t)}}{dt} = [ \ \pi \cos( \pi t) \ ] \vec{u_x} + [ \ 4t \ ] \vec{u_y} - [ \ \pi \sin( \pi t) \ ] \vec{u_z} $$
Il risultato finale è la derivata del vettore.
La derivata del prodotto scalare
Per derivare il prodotto scalare tra due vettori seguo la regola di derivazione del prodotto di due funzioni $$ \frac{d \ [ \vec{a} \cdot \vec{b} ]}{dt} = \frac{d \ \vec{a} }{dt} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \frac{d \ \vec{b} }{dt}$$
La derivata del prodotto scalare è la somma di due prodotti scalari.
- Il prodotto scalare della derivata del primo vettore (a') per il secondo vettore non derivato (b)
- Il prodotto scalare della derivata del secondo vettore (b') per il primo vettore non derivato (a)
La derivata del prodotto vettoriale
Per derivare il prodotto vettoriale tra due vettori seguo la regola di derivazione del prodotto di due funzioni $$ \frac{d \ [ \vec{a} \ × \ \vec{b} ]}{dt} = \frac{d \ \vec{a} }{dt} \ × \ \vec{b} + \vec{a} \ × \ \frac{d \ \vec{b} }{dt}$$
La derivata del prodotto vettoriale è la somma di due prodotti vettoriali.
- Il prodotto vettoriale della derivata del primo vettore (a') per il secondo vettore non derivato (b)
- Il prodotto vettoriale della derivata del secondo vettore (b') per il primo vettore non derivato (a)
E così via
