Esercizi, problemi e faq sulle applicazioni lineari
$$ f:V \rightarrow W $$
Cos'è un operatore lineare
Un'applicazione lineare f:V->W è un operatore lineare se V=W.
Cos'è l'insieme delle applicazioni lineari
$$ Hom_K(V,W) $$
$$ V \cong W $$
Come trovare la matrice rappresentativa
$$ A_{f, B_v, B_w} $$
Come trovare le coordinate di un vettore rispetto alla base in un'applicazione lineare
$$ C_{Bv} $$
Come trovare il vettore immagine di un'applicazione lineare
Dati due spazi vettoriali e un'applicazione vettoriale, per qualsiasi vettore v ∈ V è possibile determinare il vettore immagine f(v) ∈ W. In questo esercizio spiego come trovarlo.
$$ A_{fB_vBw} \cdot C_{Bv} = C_{Bw} $$
Cos'è il nucleo dell'applicazione lineare
Il nucleo di un'applicazione lineare f:V->W è la controimmagine del vettore nullo 0w.
$$ Ker(f) := f^{-1}(0_v) = \{ v \in V : f(v)=0_w \} $$
Cosa sono le immagini dell'applicazione lineare
Si dice immagine dell'applicazione lineare un'insieme dei vettori v di V che sono immagini di qualcosa.
$$ Im(f) = \{ f(v) : v \in V \} $$
Cos'è un'applicazione lineare iniettiva
Un'applicazione lineare è iniettiva se
$$ dim_K \: Ker(f) = 0 $$
Cos'è un'applicazione lineare suriettiva
Un'applicazione lineare è suriettiva se
$$ dim_K \: Im(f) = dim(W) $$
Come cambiare le basi in un'applicazione lineare
Si può ottenere la nuova matrice rappresentativa dell'applicazione usando le matrici del cambio di base degli spazi vettoriali V e W.
$$ A_{f,B'_V,B'_W} = M_{B_W,B'_W} A_{f,B_V,B_W} M_{B'_V,B_V} $$
Cos'è un'applicazione lineare aggiunta
Un'applicazione lineare aggiunta (o trasposta) è un'applicazione f* associata a un'altra applicazione lineare f:V→W.
$$ < f(v) , w >_w = < v , f^*(w) >_v \:\:\: \forall \:\: v \in V , w \in W$$
Se si tratta di un operatore lineare f:V→V si parla di operatore lineare aggiunto o trasposto.
Se f è un operatore lineare simmetrico (autoaggiunto), allora esiste una base ortonormale N composta dagli autovettori di autospazi E(λ1),E(λ2),...,E(λn) distinti tra loro.
Cos'è un operatore lineare ortogonale ( isometria )
Un operatore lineare è un'isometria quando il prodotto scalare delle immagini è uguale al prodotto scalare dei vettori.
$$ < f(v_1), f(v_2)) > = <v_1, v_2> \:\:\: \forall \:\: v_1,v_2 \in V $$
