Le applicazioni lineari

Un'applicazione lineare è una funzione lineare ( o omomorfismo ) che mette in relazione due spazi vettoriali V e W nel campo K $$ f: V \rightarrow W $$ e soddisfa le seguenti proprietà. $$ f(v_1 +_v v_2)=f(v_1) +_w f(v_2) \:\:\:\: ∀ \ v \in V $$ $$ f(α ·_v v) = α ·_w f(v) \:\:\:\: ∀ \ α \in R $$

La prima proprietà è una funzione additiva mentre la seconda è una funzione omogenea di I grado.

Nota. Tutte le applicazioni lineari sono compatibili con le operazioni degli spazi vettoriali.

Un esempio pratico

Esercizio 1

In questo esercizio prendo come riferimento una funzione f.

$$ f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$

Per capire se la funzione è un'applicazione lineare, devo verificare se soddisfa le due proprietà delle applicazioni lineari.

$$ f(v_1 + v_2)=f(v_1) + f(v_2) \:\:\:\: ∀ v \in V $$ $$ f(α·v) = α·f(v) \:\:\:\: ∀ α \in R $$

Quindi, prendo due vettori generici v₁ e v₂ dello spazio vettoriale

$$ v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$

e verifico se f è una funzione additiva.

$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} =f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$

Prima calcolo

$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$

$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)-(z_1 + z_2) \\ (x_1 + x_2)-2(z_1 + z_2)+(y_1 + y_2) \end{pmatrix} $$

Poi calcolo

$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 \\ x_1-2z_1+y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2-z_2 \\ x_2-2z_2+y_2 \end{pmatrix} $$

$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 + x_2-z_2 \\ x_1-2z_1+y_1 + x_2-2z_2+y_2 \end{pmatrix} $$

$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 + x_2-z_2 \\ (x_1+x_2)-2(z_1+z_2)+(y_1+y_2) \end{pmatrix} $$

I due risultati coincidono, pertanto la prima proprietà è soddisfatta. E' una funzione additiva.

Ora devo verificare se la funzione è anche una funzione omogenea di I grado.

$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} $$

Prima calcolo

$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax-az \\ ax-2az+ay) \end{pmatrix} $$

$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a·(x-z) \\ a·(x-2z+y) \end{pmatrix} $$

Poi calcolo

$$ a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = a· \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$

$$ a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a·(x-z) \\ a·(x-2z+y) \end{pmatrix} $$

Anche la seconda proprietà è verificata.

Sono soddisfatte entrambe le proprietà ( funzione additiva e omogenea di primo grado ).

Pertanto, posso affermare che la funzione è un'applicazione lineare.

Esercizio 2

In quest'altro esempio devo studiare la linearità della funzione

$$ f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy \\ x-z^2 \end{pmatrix} $$

Prima verifico se è una funzione additiva

$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} =f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$

ossia

$$ \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)(y_1 + y_2) \\ (z_1 + z_2 )^2-(x_1+x_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 y_1 \\ x_1-z_1^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 y_2 \\ x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$

Il membro di sinistra dell'equazione è il seguente:

$$ \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)(y_1 + y_2) \\ (z_1 + z_2 )^2-(x_1+x_2) \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2) \\ (z_1^2 +2z_1 z_2 + z_2^2 - x_1+x_2) \end{pmatrix} $$

Il membro di destra dell'equazione è il seguente:

$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 \\ x_1-z_1^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 y_2 \\ x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 + x_2 y_2 \\ x_1-z_1^2 + x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$

In questo caso ottengo due risultati diversi.

Pertanto, la funzione non soddisfa la prima proprietà e non è un'applicazione lineare.

E così via.